Construction des graphes de suites
Il y a deux façons de représenter graphiquement des suites. Primo, on peut marquer des points qui se suivent dans un plan muni d'un repère. Cette façon-ci est surtout vue en classe de première (voir la page d'initiation aux suites). Secundo, on peut tracer des courbes comme présenté ci-dessous (niveau terminale). Toutefois, les suites les plus courantes en mathématiques appliquées (financières, notamment) ne sont pas convergentes alors que l’intérêt d'un graphe est justement de visualiser vers quelle valeur une suite converge. Exit donc les suites arithmétiques ainsi que les géométriques de raison supérieure à 1…
Le principe consiste à présenter les termes \(u_n\) en abscisse et \(u_{n+1}\) en ordonnée. Normal, dans la mesure où \(u_{n+1}\) est une fonction de \(u_n.\) La première bissectrice indique ainsi le lieu convivial où, éventuellement, \(u_n\) rencontre \(u_{n+1}\) (représentation du théorème du point fixe).
Nous décortiquons dans un premier exemple le mécanisme de construction. La représentation sera en spirale. D’autres graphes d’aspect différent figurent sur ce site, notamment en pages de suites arithmético-géométriques et de limite d’une suite. Il s'agit alors de représentations en escaliers. Un second exemple montrera l'existence d'un lien entre un graphe de suite et une intersection de droites.
Exemple 1
Soit \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \frac{2}{u_n} + 1\) pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\).
On trace la première bissectrice et la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{2}{x} + 1.\) On se positionne sur l’abscisse de \(u_0,\) c’est-à-dire 4 (sur cette page, tous les graphiques sont réalisés avec Sine qua non).
À la vue de ce graphe, on vous parie un arbelos contre un octaèdre que la suite converge vers 2. D’ailleurs, pour cette valeur, \(u_{n+1} = 2 = \frac{2}{2} + 1 = u_n.\) Mais faisons comme si nous n'avions rien vu et cherchons \(u_1.\) Graphiquement, on lit \(u_1 = 1,5.\) Algébriquement, \(\frac{2}{4} + 1 = 1,5.\)
Puis, ainsi va la vie, \(u_{n+1}\) devient à son tour \(u_n.\) Valeur à reporter, grâce à la diagonale, \(u_1\) sur l’axe des abscisses…
Ce \(u_1\) va nous permettre de déterminer \(u_2.\) Cette palpitante progression peut aussi être suivie algébriquement : \(\frac{2}{1,5} + 1 = \frac{7}{3}.\)
Puis chaque \(u_n\) répète les gestes de ses ancêtres. Une convergence se dessine vers 2, but hélas inaccessible car il faudrait d’infinies générations de \(u_n\) pour y parvenir.
Exemple 2
(D’après bac ES, France, juin 1998).
- Les fabricants d’ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix \(P_n\) l’année \(n.\) Les quantités offertes \(O_n\) sont fonction du prix \(P_{n-1}\) (à l’année \(n - 1\), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées \(D_n\) sur le marché sont, elles, fonction du prix \(P_n\) au cours de l’année \(n.\) Les fabricants recherchent l’équilibre du marché, c’est-à-dire qu’à chaque année \(n\) on ait \(O_n = D_n\) pour qu’il n’y ait pas de stock. On a :
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{O_n} = 2{P_{n - 1}} - 10\;{\rm{avec}}\;n \geqslant 1}\\
{{D_n} = - 3{P_n} + 140\;{\rm{avec}}\;n \geqslant 0}
\end{array}} \right.\)
- \(P_n\) est exprimé en milliers d’euros, \(O_n\) et \(D_n\) en centaines d’unités.
Le point d’équilibre se situe là où les deux fonctions affines s’égalisent (\(y = 2x - 10\) et \(y = -3x + 140\) puisque \(P_n\) y est égal à \(P_{n-1}.\) À l’équilibre, on trouve facilement que \(P_n = -\frac{2}{3}P_{n-1} + 50.\)
- \((u_n)\) est la suite définie pour \(n \geqslant 0\) par \(u_n = P_n - 30.\) Démontrer que \((u_n)\) est une suite géométrique dont on donnera (…) la raison.
\(u_{n+1}\) \(= -\frac{2}{3}P_n + 20\) \(= -\frac{2}{3}(P_n - 30)\) \(= -\frac{2}{3}u_n.\) Suite géométrique de raison \(-\frac{2}{3}.\)
Ceci nous amène à deux représentations graphiques qui montrent une convergence vers un prix de 30 K€. Le premier graphe (système d’équations) indique en outre la quantité d’équilibre : 50 centaines d’unités. Le second représente \((u_n).\)
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