Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La représentation graphique des suites

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Construction des graphes de suites

Il y a deux façons de représenter graphiquement des suites. Primo, on peut faire des points qui se suivent dans un plan muni d'un repère. Cette façon-ci est surtout vue en classe de première (voir la page initiation aux suites). Secundo, on peut tracer des courbes comme présenté ci-dessous (niveau terminale S). Toutefois, les suites les plus courantes en mathématiques appliquées (financières, notamment) ne sont pas convergentes et l’intérêt du graphe est justement de visualiser vers quelle valeur une suite converge. Exit donc les suites arithmétiques ainsi que les géométriques de raison supérieure à 1…

Le principe consiste à présenter les termes un en abscisse et un+1 en ordonnée. Normal, dans la mesure où un+1 est une fonction de un. La première bissectrice indique ainsi le lieu convivial où, éventuellement, un rencontre un+1.

Je décortique dans un premier exemple le mécanisme de construction. La représentation sera en spirale. D’autres graphes d’aspect différent figurent sur ce site, notamment en page suites arithmético-géométriques et limite d’une suite. Il s'agit alors de représentations en escaliers. Un second exemple montrera l'existence d'un lien entre un graphe de suite et une intersection de droites.

Exemple 1

Soit u0 = 4 et un+1 = (2 / un) + 1 pour tout n appartenant à N.

On trace la première bissectrice et la fonction f définie par f(x) = (2 / x) + 1. On se positionne sur l’abscisse de u0, c’est-à-dire 4 (NB : sur cette page, tous les graphiques sont réalisés sur Sine qua non).

graphe 1

À la vue de ce graphe, je vous parie une dérivée logarithmique contre une somme de résidus que la suite converge vers 2. D’ailleurs, pour cette valeur, un+1 = 2 = (2 / 2) + 1 = un. Mais faisons comme si nous n'avions rien vu et cherchons u1. Graphiquement, u1 = 1,5. Algébriquement, (2 / 4) + 1 = 1,5.

graphe 2

Puis, ainsi va la vie, un+1 devient à son tour un. Valeur à reporter, grâce à la diagonale, u1sur l’axe des abscisses…

graphe 3

Ce u1 va nous permettre de déterminer u2. Cette palpitante progression peut aussi être suivie algébriquement : (2 / 1,5) + 1 = 7 / 3.

graphe 4

Puis chaque un répète les gestes de ses ancêtres. Une convergence se dessine vers 2, but hélas inaccessible car il faudrait d’infinies générations de un pour y parvenir.

graphe 5

Exemple 2 (d’après bac ES, France, juin 1998).

« Les fabricants d’ordinateurs portables vendent leurs machines à un prix Pn l’année n. Les quantités offertes On sont fonction du prix Pn-1 (à l’année n – 1), ceci du fait des délais de fabrication. Les quantités demandées Dn sur le marché sont, elles, fonction du prix Pn au cours de l’année n. Les fabricants recherchent l’équilibre du marché, c’est-à-dire qu’à chaque année n on ait On = Dn pour qu’il n’y ait pas de stock. On a :

système

Pn est exprimé en milliers d’euros, On et Dn en centaines d’unités. »

Le point d’équilibre se situe là où les deux fonctions affines s’égalisent (y = 2x – 10 et y = -3x + 140) puisque Pn y est égal à Pn-1. À l’équilibre, on trouve facilement que Pn = -(2 / 3)Pn-1 + 50.

« (un) est la suite définie pour n ≥ 0 par un = Pn – 30. Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera (…) la raison. »

un+1 = -(2 / 3)Pn + 20 = -(2 / 3)(Pn – 30) = -(2 / 3)un. Suite géométrique de raison -⅔.

Ceci nous amène à deux représentations graphiques qui montrent une convergence vers un prix de 30 K€. Le premier graphe (système d’équations) indique en outre la quantité d’équilibre : 50 centaines d’unités. Le second représente (un).

graphe du systèmegraphe de suite

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suite au musée

 

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