Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation aux suites

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Première approche sur les suites

Cette page est destinée aux élèves de première, toutes filières confondues, qui découvrent dans leur programme de maths le chapitre sur les suites. Et plus particulièrement ceux qui s’en trouvent fort perplexes et qui aimeraient bien comprendre un peu mieux cette curiosité…

En fait, les suites n’ont rien de bien curieux. Chacun peut s’imaginer une progression de chiffres sans savoir qu’on appelle ça ainsi. Par exemple, « 2, 4, 6, 8, 10 » est une suite.

Une suite est une fonction, souvent notée u, dont le domaine de définition est l’ensemble des entiers naturels N ou une partie de celui-ci. Leurs images sont le plus souvent des réels. Pour reprendre notre exemple, le premier terme u1 est 2, le deuxième terme u2 est 4, etc. Le terme général de la suite est noté un et le nom de la suite (un), est écrit entre parenthèses.

n est donc une sorte de compteur qu’il ne faut pas confondre avec la valeur prise par un. Comme vous êtes perspicace, vous avez deviné que notre exemple est la suite des cinq premiers nombres pairs. Nous voyons donc que u1, c’est-à-dire le terme numéro 1, est égal à 2. On comprend au passage pourquoi l’antécédent ne peut être qu’un entier naturel. Il serait bizarre de déterminer le « 1,6e terme » d’une suite ! Si 1,6 admet une image, il s’agit certes d’une fonction mais pas d’une suite.

Ce qui est embêtant, c’est que selon les exercices, le premier terme peut être le numéro 1 ou le numéro 0. Si vous n’êtes pas assez méfiant, vous risquez de tomber un jour dans un piège tendu par un prof perfide...

Il existe des tas de sortes de suites mais en classe de première on ne s’intéresse qu’à celles qui possèdent une structure simple. Cette structure peut être présentée de deux façons (attention, la première n'est pas au programme de première STMG) : soit avec une formule explicite (comme toute fonction mais n remplace x), par exemple un =  + 1, soit par une relation de récurrence qui définit un terme par rapport au terme précédent, par exemple un+1 = un + 3. La première est indispensable pour calculer un terme d’un rang élevé : si l’on cherche le centième terme, il n’est ainsi pas indispensable de calculer les 99 précédents alors qu’avec la seconde méthode, on n’y coupe pas ! Par ailleurs, pour la deuxième présentation il faut TOUJOURS préciser quelle est la première valeur de la suite (sinon il est impossible de déterminer les valeurs prises par la suite).

Pour étudier les suites, il est très important de garder à l’esprit ces deux techniques et d’employer celle qui convient en fonction de l'énoncé. Pour les illustrer, reprenons notre suite de nombres pairs. Si elle est définie par une formule explicite, on écrira un = 2n. Ainsi, le numéro du compteur permet de connaître directement le résultat : le premier terme u1 est 2 × 1 = 2, le deuxième terme est u2 = 2 × 2 = 4 et ainsi de suite (c’est le cas de le dire). Avec une formule de récurrence, il faut d’abord préciser u1 = 2 puis un+1 = un + 2 puisqu’on ajoute 2 à chaque fois. Remarquez la différence d’écriture : un+1 (avec +1 en indice) signifie qu’il s’agit du terme qui suit le terme un. Donc n+1 est un NUMÉRO. En revanche, un + 2 (avec + 2 « en grand ») indique qu’il faut ajouter 2 à la VALEUR précédente. Avec l’habitude, cette distinction devient évidente mais lorsqu’on découvre les suites, c’est parfois source de confusion.

Un sujet d’étude est le sens de variation des suites. Ces dernières peuvent être monotones ou non. Lorsqu’elles le sont, elles sont soit croissantes, soit décroissantes, soit constantes. Notre suite de nombres pairs est évidemment croissante puisque les valeurs qu’elle prend sont de plus en plus grandes. Si l’on définit une suite croissante de façon formelle, on a un+1 > un et le contraire pour une suite décroissante. Évidemment, si un+1 = un la suite est constante mais vous n’en rencontrerez pas souvent ! Voir la page initiation au sens de variation des suites.

Un autre sujet est celui de la convergence (première S). Lorsque le rang augmente indéfiniment, la valeur des termes augmente-t-elle aussi indéfiniment ou ne dépasse-t-elle pas une valeur en particulier ?

Deux types de suites figurent au programme de première. Les suites arithmétiques sont celles où il faut AJOUTER toujours le même nombre à un terme pour obtenir le suivant (si ce nombre est positif, la suite est croissante et s’il est négatif elle est décroissante) et les suites géométriques sont celles où l'on MULTIPLIE chaque terme par la même valeur pour obtenir le suivant. Que la suite soit arithmétique ou géométrique, le nombre qui permet de passer d’un terme à un autre s’appelle la raison.

Graphiquement, une suite peut être représentée par des points. Prenons d’abord un exemple de suite arithmétique, définie par une formule explicite, un = 3 – n ou ce qui revient au même par la relation de récurrence, un+1 = un – 1 avec u0 = 3. Les points sont alignés de façon rectiligne parce que la suite est arithmétique et la droite qui pourrait les relier descend parce que cette suite est décroissante (la raison est -1, c’est un nombre négatif).

suite arithmétique

Vous trouverez en page suite arithmétique de petits exercices adaptés aux filières ES et S. En première STMG, on se dirigera plutôt vers les suites arithmétiques avec Excel. Pour toutes filières, voir aussi le mode d'emploi des suites arithmétiques avec calculatrices TI et Casio.

Soit maintenant une suite géométrique définie par la formule explicite un = 2n ou ce qui est équivalent par la formule de récurrence un+1 = 2un, le premier terme étant u0 = 1. Vous l’avez deviné, la raison est 2.

suite géométrique

Cette fois-ci, les points ne sont pas alignés de façon rectiligne mais de façon exponentielle.

On constate que la suite est croissante. En effet, le premier terme est positif et la raison est strictement supérieure à 1. Si elle avait été comprise entre 0 et 1 (exclus) ou si le premier terme avait été négatif, elle aurait été décroissante. Si la raison est 1, la suite géométrique n’a aucun intérêt puisqu’en multipliant chaque fois par 1, on fait du sur-place (suite constante). De même si la raison ou si un terme est nul, tous les termes da la suite géométrique sont nuls. Enfin, si la raison est négative, la suite ne peut être ni croissante ni décroissante puisqu’il y a changement de signe en passant de n à n+1. La raison -1 se traduit par une simple alternance entre un nombre et son opposé puisqu’une multiplication par -1 équivaut à changer de signe.

Vous pouvez vous amuser à créer des graphiques comme ceux-ci avec Excel. Les tableurs sont des outils idéaux pour travailler sur les suites et il est habituel de profiter de ce chapitre pour les utiliser en classe (particulièrement dans les filières technologiques).

 

suite constante

 

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