Exercices sur les nombres (niveau seconde)
Cette page s’adresse surtout aux élèves de seconde. Elle regroupe différents attendus de la partie « nombres et calculs » du programme de maths (exercices et démonstration). C’est parti.
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel qui admet deux diviseurs dans \(\mathbb N\) : 1 et lui-même. Ainsi, 1 n‘est pas un nombre premier puisqu’il n’a que 1 comme diviseur. 0 n’est pas premier puisque tout entier divise 0. Tous les nombres premiers sont impairs, sauf 2.
Exercice : crible d’Ératosthène
Ératosthène était un mathématicien, astronome et historien grec, né vers 276 av. JC. Il dirigea la fameuse bibliothèque d’Alexandrie. Son coup de maître est d’avoir su déterminer la circonférence de la Terre avec une erreur de seulement 700 km (alors qu’aujourd’hui, il y aurait encore \(9 \%\) des Français qui croient la Terre plate, selon une étude de l’IFOP). En mathématiques, Ératosthène a donné son nom à une méthode très simple qui sert à détecter les nombres premiers.
La procédure consiste tout d’abord à lister les nombres entiers sur l’intervalle souhaité. Si la liste commence par 1, vous le barrez, puis vous entourez le 2 et vous barrez tous les autres nombres pairs, vous entourez le 3 puis vous barrez tous ses multiples, vous sautez le 4 qui est déjà barré, et ainsi de suite.
Votre mission consiste à déterminer tous les nombres premiers entre 1 et 150.
Corrigé : les premières étapes sont les suivantes (multiples de 2 barrés en rouge puis multiples de 3 barrés en bleu).
On continue avec les nombres premiers 5, 7 et 11. Ensuite, c’est inutile car le suivant est 13 et \(13^2 = 169,\) ce qui est supérieur à 150. On entoure donc tous les nombres qui n’ont pas été rayés. Les nombres premiers sont indiqués avec un fond vert :
Fractions irréductibles
Le numérateur et le dénominateur d’une fraction irréductible n’ont que 1 comme diviseur commun.
En pratique, pour rendre une fraction irréductible sans l’aide d’une calculatrice, on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers puis on barre ceux qui se répètent. Pour procéder à la décomposition, on procède par étapes en cherchant quels facteurs premiers les numérateur et dénominateur ont en commun, du plus petit au plus grand. Les règles pour découvrir les diviseurs d’un nombre sont indiquées en page multiples et diviseurs.
Ce type d’exercice peut être réalisé dès le collège.
Exercice 1 : simplifier \(\frac{{630}}{{924}}\)
Corrigé : 630 se divise par 2, ce qui nous donne 315. Ce nombre est divisible par 3, soit 105. Encore divisible par 3 et on arrive à 35 qui est le produit de deux nombres premiers, 5 et 7. Donc \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7.\) Par ailleurs, 924 est divisible par 2, soit 462. Encore par 2, soit 231. À présent par 3, ce qui nous donne 77, c’est-à-dire \(7 \times 11.\)
\(\frac{{630}}{{924}} = \frac{{2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7}}{{2 \times 2 \times 3 \times 7 \times 11}}\) \(= \frac{{3 \times 5}}{{2 \times 11}} = \frac{{15}}{{22}}\)
Exercice 2 : réduire au même dénominateur puis présenter le résultat sous forme de fraction irréductible \(\frac{5}{{16}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{12}}\)
Corrigé : plusieurs possibilités s’offrent à nous. Nous choisissons d'abord la méthode la moins « élégante » mais plus facilement compréhensible.
\(\frac{{5 \times 3 \times 12}}{{16 \times 3 \times 12}} + \frac{{16 \times 12}}{{16 \times 3 \times 12}} - \frac{{16 \times 3}}{{16 \times 3 \times 12}}\) \(= \frac{{180 + 192 - 48}}{{16 \times 3 \times 12}}\) \(= \frac{{324}}{{576}}\)
Ensuite, simplifions.
\(\frac{{324}}{{576}} = \frac{{{2^2} \times {3^4}}}{{{2^6} \times {3^2}}} = \frac{{{3^2}}}{{{2^4}}} = \frac{9}{{16}}\)
Autre possibilité : on décompose d'abord les dénominateurs
\(\frac{5}{{{2^4}}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{2^2} \times 3}}\) \(= \frac{{5 \times 3}}{{{2^4} \times 3}} + \frac{{{2^4}}}{{{2^4} \times 3}} - \frac{{{2^2}}}{{{2^4} \times 3}}\) \(= \frac{{15 + 16 - 4}}{{48}}\) \(= \frac{{27}}{{48}}\) \(= \frac{9}{{16}}\)
Nombres pairs et impairs
Un nombre pair est en entier multiple de 2. On peut donc l’écrire sous forme \(2k,\) avec \(k\) entier. Un nombre pair se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre impair s’écrit \(2k + 1\) puisque si on le divise par 2, le reste est égal à 1. Un nombre impair se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9. Voici trois exercices, le corrigé du premier devant être connu des élèves de seconde puisqu’il est mentionné dans le programme.
Exercice 1 : démontrez que le carré d’un nombre impair est impair.
Corrigé : soit le nombre impair au carré \((2k + 1)^2.\) Développons (identité remarquable). On obtient \(4k^2 + 4k + 1.\) On peut factoriser une partie de cette décomposition par 2. Soit \(2(2k^2 + 2k) + 1.\) Comme \(k\) est un entier, \(2k^2 + 2k\) est un entier. Et \(2(2k^2 + 2k)\) est pair. Donc \(2(2k^2 + 2k) + 1\) est impair !
Exercice 2 : démontrer que la somme de nombres impairs est un nombre pair.
Corrigé : nous avons vu qu’un nombre impair s’écrit sous forme \(2k + 1.\) Soit donc la somme de \(2k + 1\) et de \(2k + 1.\) Nous obtenons \(2k + 2k +2.\) Factorisons par 2 pour arriver à la présentation suivante : \(2(k + k + 1).\) La somme de trois entiers est un entier. Donc \(k + k + 1\) est un entier. Nous avons vu qu’un entier multiplié par 2 est pair. Donc \(2(k + k +1)\) est pair.
Exercice 3 : démontrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Corrigé : soit un entier impair \(2k + 1\) et l’entier qui lui est immédiatement supérieur \(2k + 2.\) Le produit se présente sous la forme \((2k + 1)(2k + 2).\) Factorisons par 2. On obtient \(2(2k + 1)(k + 1).\) Le produit de deux entiers étant un entier, on peut poser \((2k + 1)(k + 1) = K\) (avec \(K \in \mathbb{N}).\) Notre produit peut donc s’écrire sous la forme \(2K.\) C’est bien un nombre pair.
