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(et fondements mathématiques)

Les suites géométriques avec Excel

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Exercices sur les suites géométriques (niveau 1re STMG)

Voici deux charmants exercices sur les suites géométriques du niveau d’une classe de première technologique (STMG, notamment) avec application sur Excel. Prérequis : le contenu de la page d'initiation aux suites.

À savoir

Une suite est géométrique lorsque, pour obtenir un terme, on multiplie le précédent par un réel, toujours le même. On appelle ce nombre la raison. C'est le même principe que la suite arithmétique sauf qu'il faut multiplier au lieu d'ajouter...

Donc, une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, un+1 = qun.

Le programme de STMG se limite aux suites à termes strictement positifs. Ceci posé, il est facile de déterminer le sens de variation d'une suite : si q < 1 la suite est décroissante et si q > 1 elle est croissante. Évidemment, si q = 1, la suite est constante puisqu'on multiplie chaque terme par 1 pour obtenir le suivant.

Exercice 1

Représenter graphiquement les sept premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 0,6.

Exercice 2

En cette année 1800, Cornélius aimerait bien s’acheter le magnifique bœuf qu’il a repéré à la foire aux bestiaux. Hélas, celui-ci coûte 600 francs et il ne dispose que de 420 F. Il place cette somme à un taux d’intérêt de 4 % (intérêts composés) afin de pouvoir se payer un jour l’objet de sa convoitise.

Montrer que cette situation s’apparente à une suite géométrique. À l’aide d’un tableur, déterminer en quelle année Cornélius a pu acheter ce fameux bœuf.

Corrigé 1

On peut représenter une suite de points ou les relier. On peut aussi réaliser le graphe à la main, à la calculatrice ou sur tableur.

Ci-dessous, c’est Excel qui a été utilisé. L’affaire est conclue en un clin d’œil. Comme le montre la capture d’écran, après avoir entré le premier terme 3 en cellule B2, il suffit en B3 de faire référence à B2 pour la multiplier par la raison 0,6. Ensuite, il faut cliquer-glisser vers le bas pour que la formule soit recopiée.

avec Excel

Pour réaliser le graphe, il convient de sélectionner la suite (depuis la cellule A1 jusqu’à B8), opter pour Insertion, puis, dans le menu Graphique, choisir Nuage de points. On a la possibilité de relier les points ou non.

Comme le premier terme est positif et que la raison se situe dans l’intervalle ]0 ; 1[, la suite est décroissante. Nous le vérifions bien dans cet exercice.

graphe Excel

Corrigé 2

Pour info, cet exercice est aussi résolu en page boucles mais en programmant une calculatrice TI (niveau seconde).

Modélisons le problème par une suite (un). Son premier terme est u0 = 450.

modélisation

Nous avons démasqué une suite géométrique de raison q = 1,04.

Sur tableur, il faut procéder comme pour l’exercice précédent. Si c’est dans la cellule B2 que le premier terme est entré, la formule de la cellule B3 est =B2*1,04. Comme la première colonne n’intervient pas pour les calculs, entrons directement l’année pour nous éviter les habituels calculs de conversion.

suite sur tableur

C’est donc en 1810 que Cornélius eu suffisamment d’argent pour s’acheter ce bœuf, donc au bout de dix ans. Hélas, en 1810, l’animal était déjà mort depuis longtemps.

NB : pour l'utilisation de la calculatrice, voir la page évolutions de suites.

 

boeufs

 

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