Intégrales et valeurs moyennes
La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle donné fait partie des programmes de maths de terminale, en particulier dans les filières générales. Cet intéressant outil permet d’élargir la notion de moyenne, que les lycéens imaginaient inféodée aux chapitres sur les statistiques avant de la retrouver là où ils ne l'attendaient pas.
Valeur moyenne
La détermination d’une valeur moyenne nécessite le calcul d’une intégrale.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b.\) La valeur moyenne d’une fonction continue \(f\) sur l’intervalle \([a \,; b]\) est le réel \(m\) tel que :
\[m = \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(x)dx} \]
Un exemple simple n’a certes pas valeur de démonstration mais il permet souvent de s’approprier un outil.
Soit la fonction linéaire \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x.\)
Quelle est sa valeur moyenne entre les valeurs de \(x\) que sont 1 et 2 ? Immédiatement, on pense qu’il s’agit de \(f(1,5),\) c’est-à-dire 3. Et cette première idée est parfaitement pertinente.
Utilisons à présent la formule de la valeur moyenne. Une primitive de \(f(x) = 2x\) est la fonction carré.
\[m = \frac{1}{2-1}\int_1^2 {2xdx}\]
\[\Leftrightarrow m = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3\]
Une représentation graphique permet elle aussi d’affirmer que la valeur moyenne, lue sur l’axe des ordonnées, est 3 (réalisation avec SineQuaNon).
Autre exemple assez intuitif : la valeur moyenne de la fonction cube sur \([-a\,; a]\) (\(a \in \mathbb{R}_+\)) est bien sûr… zéro.
Prenons à présent une fonction \(g\) définie par \(g(x) = -x^2 + 4x.\) Nous cherchons la valeur moyenne prise par \(g\) entre 0 et 4. La représentation graphique est la suivante :
Il est très difficile de conjecturer graphiquement une valeur moyenne. Procédons au calcul.
\[m = \frac{1}{{4 - 0}}\int_0^4 {( - {x^2} + 4x)dx} \]
\[ \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right]_0^4\]
\[ \Leftrightarrow m = \frac{{ - \frac{{64}}{3} + 32}}{4} = \frac{8}{3}\]
Exercice 1
D’après l’épreuve du bac ES de juin 2013, France métropolitaine.
- Soit \(f\) la fonction définie, pour tout nombre réel \(x,\) par :
\(f(x) = -0,0032x^3 + 0,06x^2 + 5\)
Pour tout entier \(n\) vérifiant \(0 \leqslant n \leqslant 20,\) on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimés en milliards d’euros, au cours de l’année 1995 + n par le nombre \(f(n).\)
On veut utiliser la fonction \(f\) pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
On calcule pour cela :
\[M = \frac{1}{{20}}\int_0^{20} {f(x)dx} \]
1- Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;20].\)
2- Calculer \(M.\)
Exercice 2
Voir la page sur la moyenne.
Exercice 3
Voir la page d'exercices sur fonction exponentielle.
Exercice 1 : éléments de correction
1- Calcul d’une primitive de fonction polynomiale.
\[F(x) = - \frac{{0,0032{x^4}}}{4} + \frac{{0,06{x^3}}}{3} + 5x\]
Donc \(F(x) = -0,0008x^4 + 0,02x^3 + 5x\)
2- Calcul de la valeur moyenne.
\[M = \frac{1}{{20}}\int_0^{20} {f(x)dx} = \frac{1}{{20}}\left[ {F(20) - F(0)} \right]\]
Donc \(M\) \(=\) \(\frac{(-0,0008 \times 20^4) + (0,02 \times 20^3) + (5 \times 20)}{20}\) \(=\) \(6,6\)
La dépense moyenne des ménages français en programmes audiovisuels entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est égale à 6,6 milliards d’euros.
