Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La valeur moyenne

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Intégrales et valeurs moyennes

La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle donné fait partie des programmes de maths de terminale, en particulier dans les filières générales. Cet intéressant outil permet d’élargir la notion de moyenne, que les lycéens imaginaient inféodée aux chapitres sur les statistiques avant de la retrouver là où ils ne l'attendaient pas.

La détermination d’une valeur moyenne nécessite le calcul d’une intégrale.

Soit a et b deux réels tels que a < b. La valeur moyenne d’une fonction continue f sur l’intervalle [a ; b] est le réel m tel que :

valeur moyenne

Un exemple simple n’a certes pas valeur de démonstration mais il permet souvent de s’approprier un outil.

Soit la fonction linéaire f définie sur R par f(x) = 2x.

Quelle est sa valeur moyenne entre les valeurs de x 1 et 2 ? Immédiatement, on pense qu’il s’agit de f(1,5), c’est-à-dire 3. Et cette première idée est parfaitement pertinente.

Utilisons à présent la formule de la valeur moyenne. Une primitive de 2x est la fonction carré.

intégration

Une représentation graphique permet elle aussi d’affirmer que la valeur moyenne, lue sur l’axe des ordonnées, est 3 (réalisation avec SineQuaNon).

Fonction linéaire

Autre exemple assez intuitif : la valeur moyenne de la fonction cube sur [-a ; a] (a ∈ R+) est bien sûr… zéro.

Prenons à présent une fonction g définie par g(x) = - + 4x. Nous cherchons la valeur moyenne prise par g entre 0 et 4. La représentation graphique est la suivante :

parabole

Il est à présent très difficile de conjecturer graphiquement une valeur moyenne. Procédons au calcul.

intégration

Exercice 1

D’après l’épreuve du bac ES de juin 2013, France métropolitaine.

Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par :

f(x)

Pour tout entier n vérifiant 0 ≤ n ≤ 20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimés en milliards d’euros, au cours de l’année 1995 + n par le nombre f(n).

On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.

On calcule pour cela :

dépense moyenne

1- Déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

2- Calculer M.

Exercice 2

Voir la page moyenne.

Exercice 3

Voir la page exercices sur fonction exponentielle.

Exercice 1 : éléments de correction

1- Calcul d’une primitive de fonction polynomiale.

primitive

Donc…

primitive

2- Calcul de la valeur moyenne.

calcul 1

calcul 2

La dépense moyenne des ménages français en programmes audiovisuels entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est égale à 6,6 milliards d’euros.

 

valeur moyenne

 

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