Introduction aux intégrales impropres
Inutile de lancer une campagne publicitaire sur les bienfaits de l’intégration puisque vous en êtes tous déjà convaincus. Une intégrale définie n’a pas sa pareille pour permettre de calculer une aire dans un plan repéré où une fonction est représentée par une courbe. Mais sur l’intervalle d’intégration, il se peut que ladite courbe file vers des contrées infiniment éloignées. On parle alors d'intégrale généralisée ou impropre. Et là, deux cas peuvent se produire. Soit l’intégrale converge et l’aire est finie, soit elle diverge et l’aire est infinie. Qu’est-ce à dire ?
Distinguons deux types d'intervalles, ceux qui sont infinis et ceux sur lesquels une fonction tend vers l'infini.
Borne(s) infinie(s)
Soit une fonction \(f\) continue à intégrer sur \(]-\infty \,; a]\) et / ou sur \([a \,;+\infty[\) (avec \(a\) réel).
L’intégrale se présente donc sous l’une des trois formes suivantes :
\[\int_{ - \infty }^a {f(x)dx} \]
\[\int_{ a }^{+\infty} {f(x)dx} \]
\[\int_{ - \infty }^{+\infty} {f(x)dx} \]
Il faut alors calculer la limite d’une primitive à l’infini. Si l’intégrale est finie, on dit qu’elle est convergente. Si elle est infinie, elle est divergente de première espèce. Si une limite n’existe pas, l’intégrale est divergente de seconde espèce. Notez que dans le cas où les deux bornes de l’intervalle sont infinies, il faut séparer l’intégrale en deux (entre \(-\infty\) et \(a\) puis entre \(a\) et \(+\infty\). En vertu de la relation de Chasles, la somme des deux est égale à l’intégrale cherchée.
A priori, il est délicat de deviner si l’intégrale converge ou non. Imaginez une courbe qui se rapproche indéfiniment de son asymptote horizontale. Intuitivement, on peut imaginer que si la courbe est très proche de l’asymptote, l’aire est finie. Mais s’il subsiste un écart significatif, l’aire est infinie.
Le temps est venu de passer à des exemples.
Premier exemple, la fonction inverse.
\[\int_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{x} = \left[ {\ln x} \right]} _1^{ + \infty } = + \infty \]
L’intégrale est donc divergente.
Prenons un second exemple qui, graphiquement, semble pourtant beaucoup ressembler au précédent.
\[\int_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = \left[ { - \frac{1}{x}} \right]} _1^{ + \infty }dx = 1\]
Cette fois-ci, l’intégrale converge vers 1. C’est-à-dire que sur le graphe ci-dessous, l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la droite d’équation \(x = 1\) et la courbe bleue est égale à 1 mais si c’est la courbe rouge qui limite l’aire par le haut, l'aire est infinie (réalisation sur Sine qua non).
C’est d’ailleurs un théorème à connaître : l’intégrale entre 1 et l’infini de l’inverse de \(x^a\) (avec \(a > 0\)) ne converge que si \(a > 1.\) En revanche, entre 0 et 1, \(a\) doit être inférieur à 1 pour qu'il y ait convergence (ce sont les critères de Riemann).
D’autres théorèmes nous évitent de fastidieux calculs. Par exemple, si l’on intègre \(a^x\) entre 0 et \(+ \infty\) (avec \(a > 0\), il n’y a convergence que si \(a < 1.\) Les théorèmes d’encadrement et de comparaison, enseignés au lycée dans le cadre des limites, s’appliquent bien sûr aux intégrales. D’autres théorèmes sont présentés plus bas…
En statistiques, les intégrales généralisées permettent de déterminer l’espérance et la variance d’une loi de probabilité. Rappels :
\[E(X) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} \]
\[V(X) = {(x - E(X))^2}f(x)dx\]
Pour la plupart des lois, les intégrales convergent.
Vous trouverez sur ce site quelques démonstrations qui sont autant de prétextes à retrouver nos chères intégrales généralisées et qui constituent autant d’exemples, d’ailleurs assez simples, qui pourraient tout à fait illustrer cette page. Rendez-vous donc en page loi de Cauchy (exemple de divergence), en page loi uniforme (« fausse » intégrale généralisée) ou en page d'exemples d'intégrations par parties sur intégrales généralisées (espérance de la loi exponentielle).
Fonction infinie sur l’intervalle d’intégration
La courbe représentative de la fonction une asymptote verticale sur l’une des bornes de l’intervalle d’intégration. Là aussi, l’intégrale peut converger ou diverger.
Retenons la règle suivante. Pour tout réel \(a\) positif ou nul, les deux intégrales ci-dessous convergent si \(\alpha < 1\) et elles divergent si \(\alpha \geqslant 1\) :
\[\int_a^b {\frac{{dx}}{{{{(x - a)}^\alpha }}}} \]
\[\int_a^b {\frac{{dx}}{{{{(b - x)}^\alpha }}}} \]
Exemple :
\[\int_0^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {2 - x} }}} \]
Dans la mesure où la racine carrée n’est autre qu’une puissance 0,5, on sait que cette intégrale converge.
Intégrales de Bertrand
Pour terminer, voici deux intégrales qui convergent si \(a = 1\) et \(b > 1,\) ou si \(a > 1\) pour la première, ou si \(a < 1\) pour la seconde.
\[\int_2^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{x^a}|\ln x{|^b}}}} \]
\[\int_0^{0,5} {\frac{{dx}}{{{x^a}|\ln x{|^b}}}} \]
