Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une introduction aux intégrales

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Initiation au calcul intégral

Si vous êtes en terminale ES, vous pouvez mesurer votre chance : cette page a été rédigée pour vous. Dans votre programme officiel de maths, il est précisé que vous devez aborder le chapitre sur l’intégration par le biais de figures géométriques vues au collège. Alors voilà, l’histoire commence ainsi…

Intégrale d’une fonction continue positive

En premier lieu, définissons.

Soit un repère orthogonal du plan et les points I(1 ; 0), J(0 ; 1) et K(1 ; 1).

Une unité d’aire est l’aire du rectangle OJKI. On l’écrit souvent en abrégé : u.a.

À présent, soit a et b deux réels, f une fonction continue positive sur l’intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative.

L’intégrale de f entre a et b est le domaine, en u.a., délimité par l’axe des abscisses, par C et par les droites d’équations x = a et xb (a et b sont les bornes de l’intégrale). On la note ainsi :

intégrale

Notez que x peut être remplacé par n’importe quelle lettre.

Théorème : soit la fonction F définie sur [a ; b] par :

F(x)

Si f est continue et positive sur [a ; b], F est dérivable sur [a ; b] et a pour dérivée f.

F est une primitive de f.

Vous devrez savoir que :

formule de l'intégrale

Le calcul intégral repose sur plusieurs propriétés : linéarité, positivité, relation de Chasles...

Exemple 1 : fonction constante

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 2, représentée par la courbe C dans un repère orthogonal (C prend donc la forme d’une droite horizontale). Calculons l’aire comprise entre l’axe des abscisses, C et les droites d’équations x = -1 et x = 3.

Technique 1 : nous avons compris que l’aire a la forme d’un rectangle, de hauteur 2 et de longueur 4. Par conséquent, l’intégrale est égale à 8 u.a. Vérification :

rectangle

Nous comptons bien huit carreaux qui correspondent chacun à une u.a.

Technique 2 : une fonction dont la dérivée est f(x) = 2 est F(x) = 2x.

Calculons F(3) – F(-1) = (2 × 3) – [2 × (-1)] = 6 + 2 = 8.

Exemple 2 : fonction linéaire

Soit la fonction g définie sur R par g(x) = 3x, représentée dans le plan par la courbe C’.

Déterminons l’aire comprise entre l’axe des abscisses, C’ et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

Voyons à quoi l’aire peut bien ressembler…

trapèze rectangle

Eh oui, à un trapèze rectangle !

Technique 1 : nous constatons que l’aire peut être décomposée entre un rectangle surmonté d’un triangle rectangle. L’aire du rectangle est de 3 et celle du triangle rectangle est de la moitié de 3, soit 1,5. Par conséquent, l’aire est égale à 4,5 u.a.

Technique 2 : elle commence par le plus difficile, c’est-à-dire trouver une fonction G telle que G’(x) = 3x. Mais ne zappez pas cette technique car c’est elle qu’il vous faudra utiliser par la suite ! (ne vous inquiétez pas, vous apprendrez des astuces pour « dériver à l’envers »).

Nous trouvons :

G(x)

Amusez-vous à dériver G, juste pour voir…

Ainsi :

intégration

Magie des mathématiques ! Nous trouvons le même résultat !

Observations

Vous remarquerez que nous aurions pu intégrer une fonction affine, les choses n’auraient pas été plus compliquées.

Vous remarquerez également que ces deux exemples permettaient de choisir entre deux techniques. Mais lorsqu’il s’agira de déterminer une aire lorsque la courbe représentative de la fonction à intégrer n’est pas droite, alors seules les techniques 2 seront utilisables ! (que l’avenir est angoissant !)

 

unités d'aire

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés