Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les fonctions eulériennes

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Fonctions gamma et bêta

Leonhard Euler, génie du XVIIIe siècle, nous a gratifiés, entre autres découvertes, de fonctions numériques particulièrement intéressantes : la fonction gamma aux propriétés étonnantes et la fonction bêta, obtenue à partir de la précédente. Mais que viennent-elles faire ici alors qu’elles intéressent surtout les sciences de l’ingénieur ? L’intérêt de cette visite-surprise est leur utilisation dans le cadre de certaines lois de probabilité.

Ces fonctions sont enseignées en troisième année de mathématiques (L3). La fonction gamma l'est également dans certaines classes préparatoires. Le but de cette page n’est pas de donner les clés d’une utilisation pratique des fonctions eulériennes mais plus modestement de donner un repère lorsque je les évoque sur certaines pages consacrées aux statistiques (loi gamma, lois bêta et loi de l'arc-sinus).

La fonction gamma

Elle est définie par une intégrale généralisée.

loi gamma

La propriété la plus singulière est la récurrence γ(x + 1) = xγ(x).

L’intégrale converge si x > 0. Donc, x peut être un réel strictement positif ou un complexe dont la partie réelle est positive (quoiqu’en utilisant les propriétés de cette fonction, il est possible de l’étendre aux nombres négatifs).

Si x est un entier naturel n, on trouve γ(n + 1) = n ! Par exemple, γ(1) = 1 puisque 0 ! = 1. Certaines calculatrices donnent directement le gamma (voir aussi les liens au bas de cette page). Ainsi, la fonction gamma prolonge les factorielles aux réels positifs et aux complexes.

Par conséquent, on se doute bien que la limite à l’infini de cette fonction est infinie. En revanche, quand x tend vers 0+, la fonction gamma est équivalente à la fonction inverse.

Ajoutons que cette fonction est continue et indéfiniment dérivable.

Par ailleurs, elle permet d’établir l’égalité asymptotique connue sous le nom de formule de Sterling :

formule de Sterling

Autre formule, dite des compléments. Soit p un réel strictement compris entre 0 et 1 :

compléments

Enfin…

formule avec fonction gamma

Il s’ensuit que γ(0,5) est égal à la racine carrée de π.

La fonction bêta

C’est une fonction à deux variables (mêmes domaines de définition que pour la fonction gamma). Elle se définit de deux façons. La première est, là encore, une intégrale.

fonction beta

L’intégrale converge si x et y sont des valeurs strictement positives.

L’autre définition utilise la fonction gamma :

fonction beta

Une valeur particulière : B(½,½) = π.

Là encore, une récurrence existe entre valeurs successives :

récurrence

Si x et y sont des entiers naturels, on obtient l’identité suivante :

identité

 

sans tête

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés