Les fonctions eulériennes

Fonctions gamma et bêta

Leonhard Euler, génie suisse du dix-huitième siècle, nous a gratifiés, entre autres découvertes, de fonctions numériques particulièrement intéressantes : la fonction gamma aux propriétés étonnantes et la fonction bêta, obtenue à partir de la précédente. Mais que viennent-elles faire sur ce site alors qu’elles intéressent surtout les sciences de l’ingénieur ? L’intérêt de cette visite-surprise est leur utilisation dans le cadre de certaines lois de probabilité.

Ces fonctions sont enseignées en troisième année de mathématiques (L3). La fonction gamma l'est également dans certaines classes préparatoires. Le but de cette page n’est pas de donner les clés d’une utilisation pratique des fonctions eulériennes mais plus modestement de donner un repère lorsqu'elles sont évoquées sur certaines pages consacrées aux statistiques (loi gamma, lois bêta et loi de l'arc-sinus).

Ci-dessous, tentative du logiciel d'IA Ideogram de représenter Euler dans sa jeunesse...

Euler

 

La fonction gamma

Elle est définie par une intégrale généralisée.

\[\Gamma (x) = \int_0^\infty {{e^{ - t}}{t^{x - 1}}dt} \]

La propriété la plus singulière est la récurrence \(\gamma (x + 1) - x \gamma (x).\)

L’intégrale converge si \(x > 0.\) Donc, \(x\) peut être un réel strictement positif ou un complexe dont la partie réelle est positive (quoiqu’en utilisant les propriétés de cette fonction, il est possible de l’étendre aux nombres négatifs).

Si l'on remplace \(x\) par un entier naturel \(n,\) on trouve \(\gamma (n+1) = n!\) Par exemple, \(\gamma (1) = 1\) puisque \(0! = 1.\) Certaines calculatrices donnent directement le gamma (voir aussi les liens au bas de cette page). Ainsi, la fonction gamma prolonge les factorielles aux réels positifs et aux complexes.

Par conséquent, on se doute bien que la limite à l’infini de cette fonction est infinie. En revanche, quand \(x\) tend vers \(0^+,\) la fonction gamma est équivalente à la fonction inverse.

Ajoutons que cette fonction est continue et indéfiniment dérivable.

Par ailleurs, elle permet d’établir l’égalité asymptotique connue sous le nom de formule de Sterling : \(x! \approx x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x}\)

Autre formule, dite des compléments. Soit \(p\) un réel strictement compris entre 0 et 1 :

\[\Gamma(p) \Gamma (1 - p) = \frac{\pi}{\sin p \pi}\]

Enfin…

\[\Gamma \left( {\frac{{2n + 1}}{2}} \right) = \frac{{(2n)!\sqrt \pi }}{{{2^{2n}}n!}}\]

Il s’ensuit que \(\gamma (0,5) = \sqrt{\pi}.\)

 

La fonction bêta

C’est une fonction à deux variables (mêmes domaines de définition que pour la fonction gamma). Elle se définit de deux façons. La première est, là encore, une intégrale.

\[B(x,y) = \int_0^1 {{t^{x - 1}}{{(1 - t)}^{y - 1}}dt} \]

beta

L’intégrale converge si \(x\) et \(y\) sont des valeurs strictement positives.

L’autre définition utilise la fonction gamma :

\[B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma (y)}{\Gamma (x + y)}\]

Une valeur particulière : \(B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi.\)

Là encore, une récurrence existe entre des valeurs successives :

\[B(x,y+1) = \frac{y}{x + y} B(x,y)\]

Si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels, on obtient l’identité suivante :

\[B(x,y) = \frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\]

 

sans tête