L'inégalité de la moyenne

Exercices d'encadrements avec intégrales

Le théorème de l’inégalité de la moyenne, enseigné entre autres en terminale S, est le bienvenu pour résoudre quelques problèmes d’encadrement.

 

Le théorème

Soit une fonction \(f\) définie sur un intervalle \([a\,;b].\)

Si \(m \leqslant f(x) \leqslant M,\) alors \(m(b - a) \leqslant \int_a^b {f(x)dx} \leqslant M(b - a)\)

Pourquoi un tel nom ? Il suffit de diviser les membres de cette inégalité par \((b - a)\) pour le comprendre. On obtient, au centre de l’inégalité, la moyenne  \(\mu\) de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([a\,;b]\) et donc \(m \leqslant \mu \leqslant M.\)

Donc, si l’on peut encadrer une fonction, on peut encadrer son intégrale sur un intervalle donné.

À quoi ce théorème peut-il bien servir ? Deux exemples devraient permettre d’en savoir davantage…

 

Exemple 1 : étude d’une suite définie par une intégrale

L’objectif consiste à étudier la limite de la suite \((u_n)\) définie comme suit :

\[{u_n} = \int_n^{n + 1} {\frac{{\ln x}}{x}dx} \]

Une première étape consiste à étudier la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \(f(x) = \frac{\ln x}{x}.\) Elle est négative sur \(]0\,;1[,\) nulle en 1 et positive au-delà. À droite de zéro, la limite est moins l’infini et à l’infini, elle est nulle (Cf. croissances comparées). Son tableau de variation est le suivant (les étapes qui ont permis son établissement figurent en page de manipulation des logarithmes et exponentielles).

tableau de variation

La suite sera étudiée à partir de \(n = 3.\) L’illustration ci-dessous montre bien ce que nous sommes en train de faire : nous déterminons vers quelle surface tend la suite d’aires jaunes et vertes. On se doute vaguement que nous nous orientons vers une aire nulle…

courbe

Encadrons à présent \(u_n.\) Pour tout réel compris entre \(n\) et \(n + 1,\) la fonction est positive et décroissante.

Donc \(0 < \frac{\ln x}{x} \leqslant \frac{\ln n}{n}\)

C’est à ce moment crucial qu’apparaît le théorème. Comme \(b - a = 1,\) on obtient rapidement le résultat suivant…

\[0 < \int_n^{n + 1} {\frac{{\ln x}}{x}dx \leqslant \frac{{\ln n}}{n}} \]

Comme à l’infini \(\frac{\ln n}{n}\) tend vers 0, la suite converge vers 0 par application du théorème d’encadrement.

 

Exemple 2 : étude d’une série

Soit la série harmonique.

\[S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{n}\]

Montrer que \(\frac{1}{n+1} \leqslant ln (n+1) - \ln n \leqslant \frac{1}{n}\) puis en déduire que :

\(S_{n+1} \leqslant \ln (n + 1) \leqslant S_n.\)

Corrigé expliqué :

Pour tout \(x > 1,\) la fonction inverse est continue et strictement décroissante. Du coup, si \(x\) est compris entre \(n\) et \(n + 1,\) nous avons \(\frac{1}{n + 1} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{n}.\)

Appliquons le théorème de l’inégalité de la moyenne sur cet intervalle de 1…

\[\frac{1}{{n + 1}}(n + 1 - n) \leqslant \int_n^{n + 1} {\frac{{dx}}{x} \leqslant \frac{1}{n}(n + 1 - n)} \]

Rappelons qu’une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien. Il ne reste qu’à réécrire l’inégalité qu’il fallait démontrer pour parfaire l’ensemble :

\[\frac{1}{{n + 1}} \le \ln (n + 1) - \ln n \le \frac{1}{n}\]

On déduit facilement de ceci que \(\ln(n + 1) \leqslant S_n.\) Reprenons l’inégalité qu’il fallait démontrer : on voit que pour obtenir \(S_n\) à droite, il faut additionner membre à membre tous les inverses de 1 à \(\frac{1}{n}.\) On fait de même avec le terme du milieu et l’on obtient \(\ln(n + 1) - \ln 1\) (tous les termes intermédiaires s’annulent puisqu’ils figurent une fois en addition et une fois en soustraction). Comme \(\ln 1 = 0,\) on a démontré l’inégalité \(\ln(n + 1) \leqslant S_n.\) On procède aux mêmes opérations pour montrer que \(\ln(n + 1) \geqslant S_{n + 1}.\)

 

inégalité des moyennes