L'intégration par parties

Quatre exemples d'intégration par parties

L’intégration est généralement plus difficile à réaliser que la dérivation. Une formule permet souvent de se tirer d’embarras, mais elle reste tout de même un cauchemar pour de nombreux étudiants (et autrefois des lycéens) :

\[\int_a^b {u(x)v'(x)dx = } \left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u'(x)v(x)dx} \]

 

Exemple assez simple

(Bac B Créteil-Paris-Versailles, remplacement 1984) :

Pour tout réel \(x\) strictement positif :

\[F(x) = \int_1^x {\frac{{\ln t}}{{{t^2}}}dt} \]

Considérons que \(u(t) = \ln t\) et \(v’(t) = \frac{1}{t^2},\) c’est-à-dire que \(v(t) = -\frac{1}{t}\) et que \(u’(t) = \frac{1}{t}\) (Cf. les logarithmes). D’ailleurs, il est généralement plus simple de réserver \(u\) pour les expressions avec logarithmes lorsqu’il y en a (\(v'\) étant souvent réservé aux exponentielles et fonctions trigonométriques, faciles à intégrer). Remplaçons les termes généraux de l’intégration par parties…

\[F(x) = \left[ { - \ln t \times \frac{1}{t}} \right]_1^x - \int_1^x {\frac{1}{t}\left( { - \frac{1}{t}} \right)} dt\]

Le premier terme se transforme d’autant plus facilement que \(\ln 1 = 0.\) Il nous reste à intégrer \(-\frac{1}{t^2}dt.\)

\[F(x) = \frac{{ - \ln x}}{x} - \int_1^x { - \frac{1}{{{t^2}}}dt} \]

Une primitive de \(-\frac{1}{t^2}\) est \(\frac{1}{t}.\) Ce deuxième terme est donc égal à \(-\frac{1}{x} + 1.\) Finalement,

\[F(x) = 1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x}\]

 

Exemple un peu plus compliqué

(bac S, Antilles-Guyane, juin 1999) :

\[I(a) = \int_1^a {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2}}}dx} \]

Il s’agit de calculer \(I(a)\) en remarquant que, pour \(x\) appartenant à \(]0\,; +\infty[,\) \(\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\)

Posons \(u(x) = \ln(x + 1)\) donc \(u’(x) = \frac{1}{x + 1}\) et \(v’(x) = \frac{1}{x^2}\) d’où \(v(x) = -\frac{1}{x}.\) L’intégration, brute de fonderie, apparaît ainsi :

\[I(a) = \left[ { - \frac{{\ln (x + 1)}}{x}} \right]_1^a + \int_1^a {\frac{1}{{x(x + 1)}}dx} \]

Pour l’étape suivante, nous utilisons la propriété indiquée dans l’énoncé. Il est dès lors facile de trouver des primitives pour \(\frac{1}{x}\) (c’est \( \ln x\)) et pour \(\frac{1}{x + 1}\)…

\(I(a)\) \(=\) \(-\frac{\ln(a + 1)}{a} + \ln 2 + \left(\ln x - \ln(x + 1)\right]_1^a\)

La deuxième partie de l’expression devient alors \(\ln a - \ln(a+1) + \ln 2.\) Ainsi :

\(I(a)\) \(=\) \(-\frac{\ln(a+1)}{a} + \ln \frac{a}{a + 1} + 2 \ln 2\)

L’œuvre est achevée.

 

Exemple avec expression trigonométrique

\[\int {x(1 + {{\tan }^2}x)dx} \]

Nous savons depuis notre tendre enfance que \(1 + \tan^2 x\) est la dérivée de \(\tan x\) (voir les fonctions trigonométriques). Dès lors, le choix de \(u\) et de \(v\) tombe sous le sens. \(u(x) = x,\) \(u’ = 1,\) \(v’(x) = 1 + \tan^2 x\) et \(v(x) = \tan x.\) Il vient…

\[x\tan x - \int {\tan x\;dx} \]

Si nous remplaçons \(\tan x\) par sa définition qui est \(\frac{\sin x}{\cos x},\) l’intégration devient plus simple puisque la fonction est de forme \(-\frac{u’}{u},\) soit l’expression d’une fonction logarithme (\(c\) est une constante réelle) : \(x \tan x + \ln |\cos x| + c\)

Un autre exemple est présenté en page d'intégrales de Wallis.

 

Exemple d’intégration par parties successives

Une intégration par parties successives est une intégration où le deuxième terme ne peut toujours pas être directement calculé et doit faire l’objet à son tour d’une intégration par parties, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne subsiste de cette mise en abyme que des primitives.

L’exemple qui suit a été emprunté à « Travaux dirigés Analyse 1 » de J.-P. Lecoutre et P. Pilibossian, Dunod 2004, p. 149, ouvrage particulièrement recommandé pour l’entraînement aux intégrales (niveau licence d’économie).

\[\int_1^e {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{{{x^2}}}dx} \]

Soit \(u(x) = (\ln x)^2\) et donc \(u’(x) = \frac{2 \ln x}{x}.\) Comme \(v’(x) = \frac{1}{x^2},\) alors \(v(x) = - \frac{1}{x}.\) Nous obtenons :

\[\left[ { - \frac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} \right]_1^e + 2\int_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} \]

L’expression intégrée ne correspondant à aucune primitive connue. Essayons de l’intégrer par parties elle aussi.

Choisissons encore le logarithme pour \(u,\) donc \(u’(x) = \frac{1}{x},\) reste \(v’(x) = \frac{1}{x^2}\) et bien sûr \(v(x) = \frac{1}{x}.\)

Notre nouvelle intégrale s’écrit ainsi :

\[\left[ { - \frac{{\ln x}}{x}} \right]_1^e + \int_1^e {\frac{1}{{{x^2}}}dx} \]

Cette fois-ci, une primitive se trouve facilement. Ce n’est autre que -1 / x. Ainsi, toute l’expression peut désormais être écrite sans aucune intégrale :

\[\left[ { - \frac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} \right]_1^e + 2\left( {\left[ { - \frac{{\ln x}}{x}} \right]_1^e - \left[ {\frac{1}{x}} \right]_1^e} \right)\]

Résolvons.

\(-\frac{1}{e} + 2[-\frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)]\) donc \(-\frac{1}{e} - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2\) soit \(2 - \frac{5}{e}.\)

 

Exemples d'application aux statistiques

Voir les pages d'exercices avec la loi exponentielle et d'exemples d'intégrales impropres intégrées par parties.

 

intégration par parties