L'intégration par parties

Quatre exemples d'intégration par parties

L’intégration est généralement plus difficile à réaliser que la dérivation. Une formule permet souvent de se tirer d’embarras, mais elle reste tout de même un cauchemar pour de nombreux étudiants (et autrefois des lycéens) :

formule

 

Exemple assez simple

(Bac B Créteil-Paris-Versailles, remplacement 1984) :

Pour tout réel x strictement positif :

exemple bac B

Considérons que u = ln t et v’ = 1 / t², c’est-à-dire que v = -1 / t et que u’ = 1 / t (Cf. page logarithmes). D’ailleurs, il est généralement plus simple de réserver u pour les expressions avec logarithmes lorsqu’il y en a (v' étant souvent réservé aux exponentielles et fonctions trigonométriques, faciles à intégrer). Remplaçons les termes généraux de l’intégration par parties…

intégration

Le premier terme se transforme d’autant plus facilement que ln 1 = 0. Il nous reste à intégrer -1 / t² dt.

intégration

Une primitive de -1 / t² est 1 / t. Ce deuxième terme est donc égal à -(1 / x) + 1. Finalement,

résultat

 

Exemple un peu plus compliqué

(bac S, Antilles-Guyane, juin 1999) :

intégration

Il s’agit de calculer I(a) en remarquant que, pour x appartenant à ]0 ; +∞[, 1 / x(x + 1) = (1 / x) – [1 / (x + 1)].

Posons u = ln(x + 1) donc u’ = 1 (x + 1) et v’ = 1 / x² d’où v = -1 / x. L’intégration, brute de fonderie, apparaît ainsi :

intégration

Pour l’étape suivante, nous utilisons la propriété indiquée dans l’énoncé. Il est dès lors facile de trouver des primitives pour 1 / x (c’est ln x) et pour 1 (x + 1)…

I(a)

La deuxième partie de l’expression devient alors ln a – ln(a + 1) + ln 2. Ainsi :

résultat

L’œuvre est achevée.

 

Exemple avec expression trigonométrique

intégrale

Nous savons depuis notre tendre enfance que (1 + tan² x) est la dérivée de tan x (voir page fonctions trigonométriques). Dès lors, le choix de u et de v tombe sous le sens. u = x, u’ = 1, v’ = 1 + tan² x et = tan x. Il vient…

intégration

Si nous remplaçons tan x par sa définition qui est sin x / cos x, l’intégration devient plus simple puisque la fonction est de forme -u’ / u, soit l’expression d’une fonction logarithme (C signifie Constante) :

résultat

Un autre exemple est présenté en page intégrales de Wallis.

 

Exemple d’intégration par parties successives

Une intégration par parties successives est une intégration où le deuxième terme ne peut toujours pas être directement calculé et doit faire l’objet à son tour d’une intégration par parties, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne subsiste de cette mise en abyme que des primitives.

L’exemple qui suit a été emprunté à « Travaux dirigés Analyse 1 » de J.-P. Lecoutre et P. Pilibossian, Dunod 2004, p. 149, ouvrage particulièrement recommandé pour l’entraînement aux intégrales (niveau licence d’économie).

intégration par parties successives

Soit u = (ln x)² et donc u’ = 2 ln x / x. Comme v’ = 1 / x², v = -1 / x. Nous obtenons :

étape 1

L’expression intégrée ne correspondant à aucune primitive connue. Essayons de l’intégrer par parties elle aussi.

Choisissons encore le logarithme pour u, donc u’ = 1 / x, reste v’ = 1 / x² et bien sûr v = 1 / x. Notre nouvelle intégrale s’écrit ainsi :

étape 2

Cette fois-ci, une primitive se trouve facilement. Ce n’est autre que -1 / x. Ainsi, toute l’expression peut être écrite sans aucune intégrale :

sans intégration

Résolvons.

(-1 / e) + 2[(-1 / e) – ((1 / e) –1)], donc -(1 / e) – (2 / e) – (2 / e) + 2, soit 2 – (5 / e).

 

Exemple d'application aux statistiques

Voir pages exercices avec la loi exponentielle et exemples d'intégrales impropres intégrées par parties.

 

intégration par parties