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(et fondements mathématiques)

Les intégrales de Wallis

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Intégrales et formule de Wallis

John Wallis (1616-1703) n’a pas seulement créé le symbole mathématique de l’infini (∞). Il a aussi légué au patrimoine mondial des mathématiques des intégrales qui portent aujourd’hui son nom.

Elles peuvent être présentées comme les termes d'une suite (wn) définie par…

intégrale de Wallis (sinus)

Ou encore par…

intégrale de Wallis (cosinus)

On démontre la relation de récurrence suivante : nWn = (n – 1)Wn-2

Lorsque n = 0, alors Wn = π / 2. Logique, puisqu’un nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1. Ce qui revient à :

W0

Une primitive de 1 étant tout bonnement x, le résultat est bien π / 2.

Lorsque n = 1, l’opération est également d’une déconcertante simplicité (mais si, essayez pour voir). Le résultat est 1.

Pour n supérieur à 1, il est possible d’utiliser la relation par récurrence ou, pour certaines valeurs de n, de procéder directement au calcul.

Exercice 1

Calculer W3 (avec le cosinus).

On peut décomposer l’expression ainsi :

W3

L’astuce consiste alors à utiliser la formule de trigonométrie sin² x + cos² x = 1. Pourquoi ? Pour faire apparaître, via la propriété de linéarité de l’intégrale, une structure de type u’u².

linéarité

Et quelle forme permet d’obtenir une dérivée de type u’u² ? C’est bien sûr ⅓ u³. Donc…

étape intermédiaire

Il s’ensuit que…

W3 = 2/3

Même résultat avec les cosinus.

Exercice 2

Démontrer la relation de récurrence (avec les cosinus) pour n supérieur ou égal à 2.

Cette démonstration nécessite une intégration par parties. Il faut donc faire apparaître une multiplication…

Wn

Rappelons la formule à tout hasard.

intégration par parties

Ici, nous prendrons évidemment v’(x) = cos x et donc v(x) = sin x. Donc u(x) = cosn-1x. La dérivée de cette expression est de la forme (n – 1)u’un-2. Donc u’ = – (n – 1)sin x cosn-2 x.

développement

Le premier terme a la bonne idée d’être nul, ce qui simplifie les choses. En effet, cos (π / 2) = 0 et sin 0 = 0.

Pour démontrer la récurrence, il nous faut ôter le sinus qui n’apparaît pas dans la relation. Pour cela, nous utiliserons la même formule que dans l’exercice 1.

étape intermédiaire

Après développement, utilisons à nouveau la propriété de linéarité :

linéarité

Remarquons l’autre heureuse simplification : cosn-2 x × cos² x = cosn x. Pour résumer :

étapes finales

Le résultat est identique si l'on intègre sinn x.

Application

Si n = 2, alors W2 = (π / 2) × ½ . Le résultat est facile à trouver avec la relation de récurrence. Si n = 4, alors W4 = ¾ × ½ × (π / 2) et si n est pair, alors Wn = (π / 2) × ½ × ¾ × … × (n – 1) / n. Magique, non ? Et si n est impair, alors Wn = 1 × ⅔ × … × (n – 1) / n. Et dire que vous vous êtes peut-être cassé la tête sur l’exercice 1 en cherchant W3 avec l’intégrale…

On remarque donc que la suite (Wn) est décroissante.

La relation de récurrence permet de démontrer la formule Wallis, démarche à laquelle nous ne procéderons pas ici. Je vous présente tout de même la formule qui permet de déterminer une valeur approchée de π :

formule de Wallis

Ceci n’est que l’une des nombreuses expressions de la formule. Une autre façon d’approximer π est…

approximation de pi

Attention, la convergence est hyper lente et il faut aligner une belle flopée de carrés pour s’approcher convenablement de π.

 

pi

 

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