Intégrales et formule de Wallis
John Wallis (1616-1703) n’a pas seulement créé le symbole mathématique de l’infini \(∞.\) Il a aussi légué au patrimoine mondial des mathématiques des intégrales qui portent aujourd’hui son nom.
Présentation
Elles peuvent être présentées comme les termes d'une suite \((W_n)\) avec \(n \in \mathbb{N}\) définie par…
\(\displaystyle{{W_n} = \int_0^{\pi/2} {{{\sin }^n}x\,dx}} \)
Ou encore par…
\(\displaystyle{{W_n} = \int_0^{\pi/2} {{{\cos }^n}x\,dx} }\)
On démontre la relation de récurrence suivante : \(nW_n = (n - 1)W_{n-2}\)
Lorsque \(n = 0,\) alors \(W_n = \frac{π}{2}.\) Logique, puisqu’un nombre élevé à la puissance zéro est égal à 1. Ce qui revient à :
\(\displaystyle{{W_n} = \int_0^{\pi/2} {1\,dx} }\)
Une primitive de 1 étant tout simplement \(x,\) le résultat est bien \(\frac{π}{2}.\)
Si \(n = 1,\) l’opération est également d’une déconcertante simplicité (mais si, essayez pour voir). Le résultat est 1.
Pour \(n > 1,\) il est possible d’utiliser la relation par récurrence ou, pour certaines valeurs de \(n,\) de procéder directement au calcul.
Exercice 1
Calculer \(W_3\) (avec le cosinus).
On peut décomposer l’expression ainsi :
\(\displaystyle{{W_3} = \int_0^{\pi/2} {{{\cos }^2}x\cos x\,dx} }\)
L’astuce consiste alors à utiliser la formule \(sin^2 x + cos^2 x = 1\) pour faire apparaître, via la propriété de linéarité de l’intégrale, une structure de type \(u’u^2.\)
\(\displaystyle{{W_3} = \int_0^{\pi/2} {\cos x(1 - {{\sin }^2}x)\,dx}} \)
\( \Leftrightarrow {W_3}\) \(=\) \(\displaystyle{\int_0^{\pi/2} {\cos x\,dx - } \int_0^{\pi/2} {\cos x\,{{\sin }^2}x\,dx}} \)
Et quelle forme permet d’obtenir une dérivée de type \(u’u^2\) ? C’est bien sûr \(\frac{1}{3}u^3.\) Donc…
\(\displaystyle{{W_3} = \left[ {\sin x} \right]_0^{\pi/2} - \left[ {\frac{1}{3}{{\sin }^3}x} \right]_0^{\pi/2}}\)
Il s’ensuit que…
\({W_3}\) \(=\) \(\displaystyle{\left( {\sin \frac{\pi }{2} - \sin 0} \right) - \left( {\frac{{{{\sin }^3}\frac{\pi }{2}}}{3} - \frac{{{{\sin }^3}0}}{3}} \right)}\)
D'où \(W_n = 1 - 0 - \frac{1}{3} + 0\) \(=\) \(\frac{2}{3}\)
Même résultat avec les cosinus.
Exercice 2
Démontrer la relation de récurrence (avec les cosinus) pour \(n \geqslant 2.\)
Cette démonstration nécessite une intégration par parties. Il faut donc faire apparaître une multiplication.
\(\displaystyle{{W_3} = \int_0^{\pi/2} {{{\cos }^{n - 1}}x \times } \cos x\,dx}\)
Rappelons la formule à tout hasard.
\(\displaystyle{\int_a^b {u(x)v'(x)dx}}\) \(=\) \(\displaystyle{\left[ {u(x)v(x)} \right]_a^b - \int_a^b {u'(x)v(x)dx}}\)
Ici, nous choisissons évidemment \(v’(x) =\cos x\) et donc \(v(x) = \sin x.\) Donc \(u(x) = \cos^{n-1}x.\) La dérivée de cette expression est de la forme \((n - 1)u’u^{n-2}x.\) Donc \(u’(x)\) \(=\) \(-(n - 1)\sin x \cos^{n-2}x.\)
\(W_n\) \(=\) \([\cos^{n-1}x \sin x]_0^{\pi/2}\) \(+\) \(\displaystyle{(n+1) \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^{n-2}x\,dx}\)
Le premier terme a la bonne idée d’être nul, ce qui simplifie les choses. En effet, \(\cos \frac{π}{2} = 0\) et \(\sin 0 = 0.\)
Pour démontrer la récurrence, il nous faut ôter le sinus qui n’apparaît pas dans la relation. Pour cela, nous utiliserons la même formule que dans l’exercice 1.
\(W_n\) \(=\) \(\displaystyle{(n - 1)\int_0^{\pi/2} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)} {\cos ^{n - 2}}x\,dx}\)
Après développement, utilisons à nouveau la propriété de linéarité :
\(W\) \(=\) \(\displaystyle{(n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2}x\,dx}\) \(-\) \(\displaystyle{(n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n}x\,dx}\)
Remarquons l’autre heureuse simplification : \(\cos^{n-2}x × \cos^2 x\) \(=\) \(\cos^n x.\) Pour résumer :
- \(W_n = (n-1)W_{n-2} - (n-1)W_n\)
- \(W_n + (n - 1)W_n = (n-1)W_{n-2}\)
- \(nW_n = (n-1)W_{n-2}\)
Le résultat est identique si l'on intègre \(\sin^n x.\)
Application
Si \(n = 2,\) alors \(W_2 = \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{2}.\) Le résultat est facile à trouver avec la relation de récurrence. Si \(n = 4,\) alors \(W_4 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}\) et d'une façon générale si \(n\) est pair, alors \(W_n\) \(=\) \(\frac{π}{2} × \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{n-1}{n}.\) Magique, non ? Et si \(n\) est impair, alors \(W_n = 1 × \frac{2}{3} × ... × \frac{n - 1}{n}.\) Et dire que vous vous êtes peut-être cassé la tête sur l’exercice 1 en cherchant \(W_3\) avec l’intégrale…
On remarque donc que la suite \((W_n)\) est décroissante.
La relation de récurrence permet de démontrer la formule Wallis, démarche à laquelle nous ne procéderons pas ici. Nous vous présentons tout de même la formule qui permet de déterminer une valeur approchée de \(π\) :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{4n}}{{(n!)}^4}}}{{2{{[(2n)!]}^2}}} = \pi} \)
Ceci n’est que l’une des nombreuses expressions de la formule. Une autre façon d’approximer \(π\) est…
\(\displaystyle{\pi = 2 \times \frac{2^2 \times 4^2 \times 6^2 ...}{3^2 \times 5^2 \times 7^2...}}\)
Attention, la convergence est hyper lente et il faut aligner une belle flopée de carrés pour s’approcher convenablement de \(π.\)
