Quelques exercices sur les ensembles de définition

Détermination d'ensembles de définition

Comme vous le savez, une fonction numérique est définie sur un ensemble, dit « de définition ». Cet ensemble peut être l’ensemble des réels, ou seulement une partie de celui-ci. Pourquoi ? Soit parce que la fonction modélise un problème concret soit en raison d'une impossibilité mathématique.

C’est sur ce second cas de figure que nous vous proposons de vous entraîner.

Le niveau requis est celui d’une terminale S (voire d’une terminale ES mais ce type d’exercice n’est pas dans l’esprit du programme). C’est aussi un bon entraînement d’été pour les bacheliers qui souhaitent maintenir leurs capacités en ordre de marche avant la rentrée universitaire.

Pour tous les exercices, il vous est demandé de déterminer l’ensemble de définition D, sous-ensemble de R. Les corrigés suivent les énoncés.

Exercice 1

(x+7)/(x²-3x-10)

Exercice 1 bis

ln((x+7)/(x²-3x-10))

Exercice 2

racine((2x+4)/(2x-4))

Exercice 2 bis

racine(2x+4)/racine(2x-4)

Si vous souhaitez des exercices supplémentaires, rendez-vous en page d'exercices sur ensembles de définitions de fonctions avec valeurs absolues.

Corrigé 1

La fonction f est définie si son dénominateur est non nul. Les valeurs qui annulent un polynôme du second degré sont appelées racines et nécessitent le plus souvent le calcul du discriminant.

On pose donc l’équation :  – 3x – 10 = 0

Un tel polynôme se présente sous la forme ax² + bx + c = 0 avec a = 1, b = -3 et c = -10.

Formule du discriminant : Δ = b² – 4ac

Donc, ici, Δ = (-3)² - 4(-10) = 49, soit 7². Comme Δ > 0, le polynôme admet deux racines distinctes :

En l’occurrence, x1 = (3 – 7) / 2, soit -2, et x2 = (3 + 7) / 2 = 5. Par conséquent, f ne peut pas exister si x = -2 ou si x = 6.

Conclusion, D = R \ {-2 ; 5}

Note: désolé si le R n’est pas ajouré, puisque c’est ainsi que se note l’ensemble des réels, mais le html n’est pas adapté aux symboles mathématiques. Par ailleurs, remarquez l’antislash ( \ ) qui se lit « privé de » (pas toujours enseigné dans le secondaire).

Corrigé 1 bis

Ici, le numérateur ne doit pas être nul non plus. Et comme la fonction logarithme n’est définie que pour les nombres strictement positifs, nous nous aiderons d’un tableau de signes, comme on apprend à le faire en classe de seconde.

Nous avons déjà calculé les racines du dénominateur. Rappelons que le signe du polynôme est celui de a à l’extérieur des racines. Le signe du numérateur est quant à lui particulièrement simple à établir.

tableau

Par conséquent, D = ]-7 ; -2[ ∪ ]6 ; +∞[.

Corrigé 2

La fonction g existe à condition que l’expression sous radical soit positive et que le dénominateur ne soit pas nul. Il faut donc procéder à une étude de signe.

2x + 4 > 0
⇔ x > -2

2x – 4 > 0
⇔ x > 2

D’où le tableau de signes suivant (réalisé avec Sine qua non) :

tableau

D = ]-∞ ; -2] ∪ ]2 ; +∞[

Corrigé 2 bis

L’ensemble de définition est plus restrictif puisque le numérateur ET le dénominateur doivent être positifs. Donc, si l’on se réfère au tableau de signes précédent, D = ]2 ; +∞[.