Introduction à la théorie des ensembles
- On appelle passoire tout instrument sur lequel on peut définir trois sous-ensembles : l'intérieur, l'extérieur et les trous (les Shadoks).
Il est fréquent d’entamer un programme de mathématiques du supérieur par la théorie des ensembles. Non pas en raison de ses applications pratiques, bien sûr (quoique les ensembles font partie de notre vie courante), mais parce que c'est une notion primordiale et que cette présentation permet d'introduire des notations et un vocabulaire que l'on retrouve au détour de plusieurs chapitres, tant en maths qu'en statistiques. Voyons ceci de plus près.
Les ensembles
Un ensemble est une réunion d’éléments, finie ou infinie. Pour reprendre la définition du philosophe et logicien gallois Bertrand Russell, prix Nobel de littérature, « un ensemble est constitué d'éléments considérés simultanément ». Mathématiquement, un panel de consommateurs est un ensemble qui contient autant d’éléments qu’il y a de panélistes.
Un ensemble vide se note \(\varnothing\) ou \(\{\}\) et lorsqu’il n’existe qu’un seul élément, c’est un singleton. Le nombre d'éléments est le cardinal de l'ensemble (par exemple, le cardinal d'une fonction constante est égal à 1). La détermination d'un cardinal fini relève d'un problème de dénombrement.
Le symbole d’appartenance d’un ou plusieurs éléments à un ensemble est \(\in\) (graphisme particulier de la lettre grecque epsilon). Si plusieurs ensembles sont constitués des mêmes éléments, ils sont tout simplement égaux.
En mathématiques, un ensemble est désigné par une lettre majuscule (\(E\) bien souvent). À moins qu'il s'agisse d'un ensemble numérique usuel dont le nom est réservé (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z},\) \(\mathbb{D},\) \(\mathbb{Q},\) \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), on le définit en indiquant, entre accolades, soit la liste de ses éléments (agrémentée de points de suspension si elle est trop longue), soit celle de leurs propriétés (séparées par des barres verticales). À titre d'exemple, l'ensemble infini des fonctions paires à une variable peut s'écrire ainsi :
Cette façon de présenter un ensemble est dite en compréhension, au contraire de la présentation en extension, sous forme de liste d'éléments entre accolades.
Une ensemble inclus dans un autre est un sous-ensemble. Concrètement, un échantillon constitue un sous-ensemble d'une population de référence. Le symbole d’inclusion d’un sous-ensemble dans un ensemble est \( \subset. \) De nombreuses démonstrations utilisent l'inclusion pour montrer que deux ensembles \(A\) et \(B\) sont égaux (\(A \subset B\) et \(B \subset A\)).
Des sous-ensembles disjoints auxquels appartiennent tous les éléments de l’ensemble forment une partition.
Toutes les possibilités offertes par un ensemble définissent ses parties (encore que ce terme est aussi considéré comme un synonyme de sous-ensemble). Prenons l’exemple d’une société S possédant trois agences : Paris (P), Bruxelles (B) et Lyon (L).
Les parties sont \(P(S)\) \(= \varnothing\,;\) \(\{P\}\,;\) \(\{B\}\,;\) \(\{L\}\,;\) \(\{P,B\}\,;\) \(\{P,L\}\,;\) \(\{B,L\}\,;\) \(\{P,B,L\}.\)
L’ordre n’a aucune importance. La paire \(\{P,L\}\) peut aussi bien s’écrire \(\{L,P\}.\)
Aux sous-ensembles appartiennent des éléments de même nature. Par conséquent, on ne dit pas qu'un graphe est un ensemble comprenant un sous-ensemble de sommets et un autre d'arêtes mais plutôt que c'est un couple d'ensembles. \(G = \{S,A\}.\)
Un produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble des couples formés de deux éléments dont le premier appartient à \(A\) et le second à \(B.\) Il se note \(A \times B.\) Ces deux ensembles peuvent n'en être qu'un seul. Ainsi \(A \times A\) se note \(A^2.\)
Les opérations sur les ensembles
Les éléments qui appartiennent à plusieurs ensembles ou sous-ensembles en constituent l’intersection (notée \(\cap\) et lue « inter »). Exemple simple : deux courbes représentatives de fonctions se croisent dans le plan. Chaque courbe est un ensemble de points et chaque intersection de courbes se compose d'un ou plusieurs points. Si les ensembles n’ont aucun élément commun, ils sont disjoints. L'intersection est commutative et associative. L'ensemble \(E\) est l'élément neutre de l'opération.
La réunion d’ensembles est notée \(\cup\) (lue « union »). Cette notation est abondamment utilisée en théorie des probabilités, l'univers des possibles étant un ensemble... Une union de deux relations est illustrée en page de diagrammes sagittaux.
Là encore, l’ordre est indifférent : \(A \cup B \cup C\) \(= C \cup (A \cup B),\) etc. La réunion est elle aussi commutative et associative mais l'élément neutre est \(\varnothing.\)
Une introduction à ces deux notions se trouve en page d'intersections et réunions d'évènements (niveau seconde, chapitre sur les probabilités).
Une formulation parmi d'autres s'appuie sur les symboles de la logique :
- \(x \in (A \cap B)\) \(\Leftrightarrow\) \((x \in A) \wedge (x \in B)\)
- \(x \in (A \cup B)\) \(\Leftrightarrow\) \((x \in A) \lor (x \in B)\)
La réunion et l'intersection sont distributives entre elles. Exemple :
\(A \cup (B \cap C)\) \(= (A \cup B) \cap (A \cup C)\) et \(A \cap (B \cup C)\) \(= (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
Lorsqu'on signifie l'intersection ou la réunion de plusieurs ensembles, on ne s'amuse pas à les citer tous mais on place en tête de liste le symbole adéquat en grand format. Si \(F\) est une famille d'ensembles, on peut avoir \(\bigcup\limits_{i \in I} {{F_i}} \) ou \(\bigcap\limits_{i \in I} {{F_i}} \) (écritures non exigibles au lycée).
Un sous-ensemble de \(E\) qui contient tous les éléments n’appartenant pas au sous-ensemble \(A\) est appelé le complémentaire de \(A\) et se note souvent avec une barre au-dessus. Soit \(\overline{A}.\)
Ainsi, \(A \cap \overline A = \varnothing,\) \(A \cup \overline A = E,\) \(\overline A \cap \overline B = \overline {A \cup B}\) et \(\overline A \cup \overline B = \overline {A \cap B}\)
Autre notion : les sous-ensembles non-vides \(E_1,\) \(E_2,\) \(...\) \(E_n\) de \(E\) constituent une partition de \(E\) si et seulement si ils sont disjoints deux à deux et que leur réunion constitue l'ensemble \(E.\)
On appelle fonction caractéristique d'un sous-ensemble \(A\) une application qui prend la valeur 1 lorsque l'élément \(x\) est inclus dans \(A\) et 0 sinon. \(\varphi_A(x) = 1\) si \(x \in A.\)
Pour clore cette visite touristique au pays des ensembles, mentionnons la notion de différence (notée \(\backslash\)). La différence des sous-ensembles \(A\) et \(B\) est l'intersection entre \(A\) et le complémentaire de \(B.\) Par exemple, \(A \backslash B = \varnothing\) équivaut à dire que \(A \subset B.\) La différence symétrique, notée \(\Delta,\) est l’ensemble \((A \cup B) \backslash (A \cap B).\) Donc, \(A \Delta \varnothing = A\) et \(A \Delta A = \varnothing.\)
Représentation
À ce niveau, les exercices ne sont jamais très difficiles mais on peut dessiner des diagrammes de Venn pour démêler les situations tarabiscotées. À titre d’exemple, la différence symétrique des sous-ensembles \(A\) et \(B\) se trouve ici en bleu :
Les opérations sur les éléments d'un ensemble
Voir les lois de composition interne.
Ensembles numériques
Ce sont des intervalles ou des ensembles infinis de nombres. Voir la page sur les ensembles de nombres (introduction destinée aux élèves de seconde).
Mentionnons en particulier les entiers naturels qui décomptent ce qui est dénombrable, comme les termes d’une suite, des observations statistiques discrètes... Et n'oublions pas sa majesté l'ensemble des réels, qui est certainement le plus souvent utilisé.
Le plan euclidien est le produit cartésien de l'ensemble des réels par lui-même.
L'ensemble de définition d'une fonction numérique est un sous-ensemble d'un ensemble numérique, une fonction pouvant ne pas être définie partout. Dans \(\mathbb{R},\) des fonctions comme la racine carrée ou la fonction logarithme, par exemple, n'existent pas pour les nombres négatifs et une fonction quotient n'a pas le bonheur d'exister si son dénominateur est nul.
