La colinéarité dans le plan

Initiation à la colinéarité

Cette page a été rédigée pour les élèves de seconde qui ont entamé un chapitre sur les vecteurs par les translations, qui l’ont poursuivi par les vecteurs avec coordonnées dans un plan muni d’un repère et qui le terminent avec la colinéarité.

 

À savoir

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction. Graphiquement, ceci se traduit dans le plan par deux flèches soit parallèles, soit situées sur une même droite. Dans ce dernier cas, leur construction peut faire apparaître des flèches confondues, se chevauchant, l’une à la suite de l’autre ou éloignées mais sur la même trajectoire. Attention au vocabulaire : des droites ou des segments de droites sont parallèles, il n’y a que les vecteurs qui sont colinéaires. Donc, bien que la problématique semble proche, nous ne calculerons pas de coefficient directeur...

Soit deux vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \). Ils sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(k\overrightarrow u =\overrightarrow v \).

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

 

Dans un plan repéré

Pour repérer que deux vecteurs sont colinéaires, il existe deux techniques.

La première est immédiate mais elle réclame parfois un bon coup d’œil. Il faut détecter une proportionnalité entre leurs coordonnées. Illustration (avec une présentation en colonnes, plus pratique) :

\(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right)\) sont colinéaires.

Cet exemple est simple. On remarque immédiatement que les coordonnées de \(\overrightarrow u \) sont le double de celles \(\overrightarrow v \).

La seconde technique consiste à calculer \(xy’-yx’\). Si le résultat est nul, il y a colinéarité. Dans notre exemple, nous avons (2 × 3) – (6 × 1) = 0. C'est la démarche à utiliser dans un exercice.

Enfin, la colinéarité des vecteurs permettent de prouver que trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés. Il suffit de montrer que les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {BC} \) (ou \(\overrightarrow {AC} \)) sont colinéaires. Comme ils sont un point en commun, il est évident qu’ils ne peuvent pas se traduire graphiquement par des flèches parallèles et qu’ils se situent sur une même droite. Cette technique peut sembler alambiquée mais elle est somme toute assez simple à employer.

Maintenant que vous savez tout ce qu’il faut savoir en classe de seconde sur la colinéarité, il ne vous reste plus qu’à vous entraîner…

Comme vous vous en doutez, dans les deux exercices qui suivent on considérera que les vecteurs se situent dans un repère \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\).

 

Exercice 1

1- Soit deux points \(A(4\,;5)\) et \(B(-2\,;-3)\) et un point \(C(x\,;y)\) situé sur l’axe des ordonnées. Trouver les coordonnées de \(C\) de façon que les trois points soient alignés.

2- Trouver les coordonnées d’un point \(D\) tel que \(\overrightarrow {OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

 

Exercice 2

Soit les points \(A(-2\,;-1)\), \(B(-1\,;2)\), \(C(4\,;1)\) et \(D(2\,;-5)\). Le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) est-il colinéaire à \(\overrightarrow {CD} \) et \(\overrightarrow {BC} \) à \(\overrightarrow {AD} \) ? Que peut-on remarquer ?

 

Corrigé 1

1- Si \(C\) est situé sur l’axe des ordonnées, ses coordonnées sont \((0\,;{y_c})\). Il n’y a qu’une seule inconnue.

Nous sommes en présence des vecteurs \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ { - 8} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ {{y_c} - 5} \end{array}} \right)\).

Ils ont un point commun, \(A\). Donc, \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire si l’équation \(-6(y-5)-(-8)(-4)=0\) est vérifiée.

Résolvons-la sans plus attendre :

\(-6y+30-32=0\), d’où \(6y=-2\) et donc \(y = - \frac{1}{3}\).

Conclusion, \(C\left( {0\,; - \frac{1}{3}} \right)\).

2- Détermination du point \(D\):

\(\overrightarrow {OD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_D} - 0}\\ {{y_D} - 0} \end{array}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ { - 8} \end{array}} \right)\)

Donc \(x = \frac{1}{2} \times ( - 6) + 0\) et \(y = \frac{1}{2} \times ( - 8) + 0\).

Ainsi, \(D\left( { - 3\,; - 4} \right)\).

 

Corrigé 2

\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right)\), \(\overrightarrow {CD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 6} \end{array}} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 2 \end{array}} \right)\), \(\overrightarrow {AD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 4} \end{array}} \right)\)

On remarque que les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {CD} \) sont colinéaires : -6 – (-6) = 0. Ou, si l’on préfère, \(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \).

Mais ils ne sont ni égaux ni opposés. Nous ne sommes donc pas en présence d’un parallélogramme et c’est sans surprise que nous vérifions la non-colinéarité entre les vecteurs \(\overrightarrow {BC} \) et \(\overrightarrow {AD} \) : -20 – 8 ≠ 0. Seuls les segments \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles.

\(ABCD\) forment donc un trapèze.

Ci-dessous, la figure est réalisée avec Geoplan. Pour avoir un plan vierge, il faut d’abord créer une nouvelle figure du plan et cliquer sur l’icône qui symbolise un repère. Ensuite il convient de créer les quatre points. Pour celà, Créer, puis Point, puis Point repéré, puis Dans le plan. On entre les coordonnées. On peut être amené à cliquer sur Afficher puis Réduire si le point \(D\), par exemple, est trop éloigné de l’origine pour apparaître à l’écran. Il ne reste plus qu’à relier ces quatre points. Créer, puis Ligne, puis Polygone, puis Défini par ses sommets. Entrez ABCD. Un magnifique trapèze apparaît.

trapèze

 

priorité ou colinéarité ?