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(et fondements mathématiques)

La colinéarité dans le plan

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Initiation à la colinéarité

Cette page a été rédigée pour les élèves de seconde qui ont entamé un chapitre sur les vecteurs par les translations, qui l’ont poursuivi par les vecteurs avec coordonnées dans un plan muni d’un repère et qui le terminent avec la colinéarité.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction. Graphiquement, ceci se traduit dans le plan par deux flèches soit parallèles, soit situées sur une même droite. Si elles se trouvent sur une même droite, leur construction peut faire apparaître des flèches confondues, se chevauchant, l’une à la suite de l’autre ou éloignées mais sur la même trajectoire. Attention au vocabulaire : des droites ou des segments de droites sont parallèles, il n’y a que les vecteurs qui sont colinéaires. Donc, bien que la problématique semble proche, nous ne calculerons pas de coefficient directeur...

Pour repérer que deux vecteurs sont colinéaires, il existe deux techniques.

La première est immédiate mais elle réclame parfois un bon coup d’œil. Il faut détecter une proportionnalité entre eux. Illustration :

vecteurs

Cet exemple est simple. On voit tout de suite que le premier vecteur est le double de l’autre. Ils sont bel et bien colinéaires. En d’autres termes, si l’on multiplie par un même nombre les deux coordonnées d’un vecteur pour trouver l’autre vecteur, il y a colinéarité. Notez que le multiple peut être négatif puisque le sens des vecteurs n’a pas d’importance.

La seconde technique consiste à utiliser la formule xy’ – yx’. Si le résultat est nul, il y a colinéarité. Dans notre exemple, nous avons (2 × 3) – (6 × 1) = 0. C'est la démarche à utiliser dans un exercice.

Enfin, la colinéarité des vecteurs permettent de prouver que trois points A, B et C sont alignés. Il suffit de montrer que les vecteurs AB et BC (ou AC) sont colinéaires. Comme ils sont un point en commun, il est évident qu’ils ne peuvent pas se traduire graphiquement par des flèches parallèles et qu’ils se situent sur une même droite. Cette technique peut sembler alambiquée mais elle est somme toute assez simple à employer.

Maintenant que vous savez tout ce qu’il faut savoir en classe de seconde sur la colinéarité, il ne vous reste plus qu’à vous entraîner…

Comme vous vous en doutez, dans les deux exercices qui suivent on considérera que les vecteurs se situent dans un repère orthonormé (O ; i ; j).

Exercice 1

1- Soit deux points A (4 ; 5) et B (-2 ; -3) et un point C (x ; y) situé sur l’axe des ordonnées. Trouver les coordonnées de C de façon que les trois points soient alignés.

2- Trouver les coordonnées d’un point D tel que…

OD

Exercice 2

Soit les points A(-2 ; -1), B(-1 ; 2), C(4 ; 1) et D(2 ; -5). Le vecteur AB est-il colinéaire à CD et BC à AD ? Conclure.

Corrigé 1

1- Si C est situé sur l’axe des ordonnées, ses coordonnées sont (0 ; y). Il n’y a qu’une seule inconnue. Nous sommes en présence des vecteurs suivants :

AB et AC

Ces vecteurs ont un point commun, A. Donc, A, B et C sont alignés si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire si l’équation suivante est vérifiée :

-6(y – 5) – (-8)(-4) = 0

Résolvons-la sans plus attendre : -6y + 30 – 32 = 0, d’où 6y = -2 et donc y = -⅓.

Conclusion, C(0 ; -⅓).

2- Détermination du point D :

D

Donc x = ½ × (-6) + 0 et y = ½ × (-8) + 0. Ainsi, D(-3 ; -4).

Corrigé 2

vecteurs

On remarque que les vecteurs AB et CD sont colinéaires : -6 – (-6) = 0. Ou, si l’on préfère…

vecteur AB

Mais ils ne sont ni égaux ni opposés. Nous ne sommes donc pas en présence d’un parallélogramme et c’est sans surprise que nous vérifions la non-colinéarité entre les vecteurs BC et AD : -20 – 8 ≠ 0. Seuls les segments [AB] et [CD] sont parallèles. ABCD forme donc un trapèze.

Ci-dessous, la figure est réalisée avec Geoplan. Pour avoir un plan vierge, il faut d’abord créer une nouvelle figure du plan et cliquer sur l’icône qui symbolise un repère. Ensuite il convient de créer les quatre points. Pour celà, Créer, puis Point, puis Point repéré, puis Dans le plan. On entre les coordonnées. On peut être amené à cliquer sur Afficher puis Réduire si le point D, par exemple, est trop éloigné de l’origine pour apparaître à l’écran. Il ne reste plus qu’à relier ces quatre points. Créer, puis Ligne, puis Polygone, puis Défini par ses sommets. Entrez ABCD. Un magnifique trapèze apparaît.

trapèze

 

priorité ou colinéarité ?

 

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