Sous-matrice et rang d'une matrice
Cette page traite d’une notion assez simple à comprendre. Bien que le sujet soit très sérieux, la recherche du rang d’une matrice a même un côté ludique.
Position du problème
Supposons que l’on travaille sur une matrice qui possède plus de lignes que de colonnes. La règle du jeu consiste à additionner ou à soustraire les colonnes entre elles, voire les multiplier par un nombre (mais interdit de multiplier les colonnes entre elles !). Si la matrice a plus de colonnes que de lignes, c’est à ces dernières que le traitement est appliqué. Après ces opérations, on retire les lignes ou colonnes qui sont en double. Le nombre de colonnes restantes (ou de lignes, s’il y en a moins que de colonnes) est le rang.
Principe
Même explication mais avec un vocabulaire mathématique. Une matrice est la représentation d’une application linéaire. Cette dernière a un rang qui est le même que celui de sa matrice associée, lequel se détermine en éliminant les colinéarités entre vecteurs colonnes. Ainsi, le rang est l’ordre du déterminant non nul le plus élevé qui puisse être extrait de la matrice.
Bien sûr, le rang d'une multiplication de matrices \(AB\) est inférieur ou égal au nombre d'éléments de la plus petite des lignes ou de la plus petite des colonnes des deux matrices \(A\) et \(B.\)
Le rang d'une matrice est le même que celui de sa transposée.
Lorsque toutes les colinéarités ont été éradiquées, il reste une matrice carrée appelée régulière (ou de plein rang). Sinon, on parle de matrice singulière.
Une sous-matrice est une matrice extraite d’une autre, à qui l’on a ôté une ou plusieurs colonnes et / ou une ou plusieurs lignes. Comme on le vérifiera ci-dessous, on peut extraire des sous-matrices régulières du même rang que la matrice dont elles sont issues.
À noter qu’un changement de base se traduit par une modification des scalaires de la matrice mais que le rang de cette dernière reste le même (tout comme sa trace).
Voyons différentes techniques permettant de déterminer le rang d’une matrice.
Technique n° 1 : le flair
Cette technique fonctionne sur certaines petites matrices, quand bien même les génies peuvent s’attaquer à de gros morceaux. Que remarquez-vous ci-dessous ?
\(M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2&9\\ 2&4&{10}\\ 1&3&7 \end{array}} \right)\)
Bravo ! La dernière colonne est égale à deux fois la deuxième plus la première. Donc le rang est égal à 2.
Si l’on supprime une colonne, il restera une ligne en trop. Mais cette fois-ci, il est moins évident de détecter la combinaison à l’œil nu. On obtient une matrice régulière qui peut être \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 2&4 \end{array}} \right)\) ou \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&7\\ 2&9 \end{array}} \right)\) ou \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 1&3 \end{array}} \right)\) etc.
Technique n° 2 : les zéros
Si la matrice a plus de lignes que de colonnes, le rang est au plus égal au nombre de colonnes. Il faut alors combiner linéairement les colonnes pour faire apparaître autant de zéros qu’on peut. Si la matrice a davantage de colonnes, on essaie les combinaisons linéaires de lignes.
Exemple :
En faisant apparaître des zéros sur la ligne du haut, on remarque moins difficilement qu’aucune colinéarité n’est à signaler entre les colonnes (il faudrait en principe continuer la procédure, en principe avec la technique du pivot de Gauss). Donc le rang est égal au nombre de colonnes, c’est-à-dire 3. N'ayant pas utilisé la technique jusqu'au bout, nous avons vérifié le résultat avec la procédure suivante :
Technique n° 3 : un logiciel
Avec Excel muni de l’add-in gratuit MATRIX : entrez la fonction MRANK dans une cellule puis sélectionnez la matrice et hop ! le rang apparaît. Plus simple que les calculs manuels, non ?
