L'espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)

Vecteurs sur \(\mathbb{R}^n\)

Au cours des études secondaires, on fait connaissance avec les vecteurs situés dans un plan, voire dans un espace en 3D. Mais il peut être utile de se situer dans un espace ayant davantage de dimensions.

L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\) peut être appréhendé dans deux desseins : le premier est de servir d’introduction à la notion plus générale et très abstraite d’espace vectoriel. Le second est d’application immédiate, par exemple pour comprendre certaines techniques statistiques expliquées sur ce site.

 

De la géométrie à l’algèbre linéaire

Après une brève introduction sur les translations, il est habituel de présenter les vecteurs en utilisant la géométrie analytique, par exemple pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Dans un premier temps on se limite à deux dimensions, un vecteur étant alors défini par ses deux coordonnées dans un plan repéré (qui correspondent à un déplacement parallèlement à l’axe des abscisses et à un autre parallèlement à l’axe des ordonnées).

Graphiquement, un vecteur se caractérise par sa direction, son sens et sa norme (c’est-à-dire sa longueur ou module). La direction implique qu'une droite est le support d'un vecteur qui peut, réciproquement, la définir (voir page vecteur directeur). La notion de colinéarité ne fait intervenir que la direction.

Ces coordonnées ont des valeurs réelles. On se situe dans l’espace vectoriel \({\mathbb{R}^2}\).

Puis la présentation s'élargit à trois dimensions, chaque vecteur étant défini par un triplet. On se situe donc dans \({\mathbb{R}^3}\).

Jusque-là, l'illustration graphique facilite la compréhension du concept. Au-delà de trois dimensions, il n'est plus possible de visualiser quoi que ce soit et il faut faire un effort d’abstraction. On abandonne la notion de « coordonnées » liée à la géométrie pour celle de n-uplets. (ou n-uples). Nous nous situons dans \({\mathbb{R}^n}\) et un n-uplet est une suite ordonnée de réels.

Au lycée, on note les vecteurs avec une flèche au-dessus de leur nom. Cette pratique est liée à la géométrie et vise à éviter les confusions. Lors des études supérieures, la flèche est généralement abandonnée.

 

Définition de \({\mathbb{R}^n}\)

L’espace vectoriel \({\mathbb{R}^n}\) est formé de l’ensemble des n-uplets de réels (nommés vecteurs), d’une loi d’addition interne et d’une loi de multiplication externe (par des réels appelés scalaires).

Détaillons à présent ces lois de composition.

Quatre propriétés de l’ensemble \({\mathbb{R}^n}\) découlent de la loi de composition interne et quatre de la loi de composition externe. Ces huit propriétés font que \({\mathbb{R}^n}\) est un espace vectoriel.

Soit trois vecteurs quelconques, \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) et \(\overrightarrow w \). Ci-dessous, nous n’emploierons plus les flèches pour les définir. Nous illustrerons quelques propriétés dans le plan vectoriel (dans l’espace \({\mathbb{R}^2}\)) grâce à GeoGebra.

1- Commutativité : \(u + v = v + u\). L’illustration est tout simplement celle d’un parallélogramme.

Ci-dessous, on voit que le vecteur \(w\) (\(\overrightarrow {AC} \)) est égal à \(u+v\) (passant par \(B\)) mais aussi à \(v+u\) (passant par \(D\)).

commutativité

2- Associativité : \(u + (v + w) = (u + v) + w\)

Ci-dessous, le vecteur représenté en bleu est le vecteur \(v+w\) et celui qui est représenté en vert est le vecteur \(u+v\). On constate que l’on obtient in fine le vecteur rouge \(\overrightarrow {AE} \) (que l’on passe par \(B\) ou par \(C\)).

associativité

3- Élément neutre : c’est le vecteur nul. \(u + \overrightarrow 0 = u\).

4- Opposé : tout vecteur \(u\) admet un opposé noté \(-u\) tel que \(u + (-u) = \overrightarrow 0\). Notez que c’est bien une propriété de la loi de composition interne (la multiplication par (-1) revient au même mais relève de la loi externe).

opposé

Passons à présent aux quatre axiomes de la loi de composition externe ou homothétie. Soit \(\lambda \) et \(\mu \in \mathbb{R}\)).

5- Élément neutre : \(1 \times u = u\)

6- Distributivité (1) : \(\left( {\lambda + \mu } \right)u = \lambda u + \mu u\). Par exemple, \(2u+3u=5u\).

7- Distributivité (2) : \(\lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v\) (exemple ci-dessous avec \(\lambda = 2\), réalisation avec Excel).

distributivité

8- Associativité : \(\lambda \left( {\mu u} \right) = \left( {\lambda \mu } \right)u\). Par exemple, \(2 \times 3u = 6u\).

 

Présentation

Les vecteurs sont le plus souvent présentés en colonnes. Ainsi, les calculs sont plus faciles qu’avec une présentation en ligne. Par exemple, la propriété d’homothétie peut s'écrire ainsi :

\(\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}\\
{{u_2}}\\
{...}\\
{{u_n}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda {u_1}}\\
{\lambda {u_2}}\\
{...}\\
{\lambda {u_n}}
\end{array}} \right)\)