La décomposition d'un vecteur dans le plan

Base et combinaison linéaire dans le plan

Dans les programmes scolaires français, c’est en classe de première S que l’on aborde les notions essentielles de base et de combinaison linéaire. Essentielles parce que, entre autres, elles portent la lourde tâche de fonder, entre autres, des techniques d’analyse des données, c’est-à-dire, pour faire très court, des statistiques très élaborées de plus en plus utilisées. Ce qui n’est pas évident à envisager, convenons-en, lorsqu’on s’imagine se perfectionner en géométrie.

 

La base

On appelle base du plan vectoriel tout couple de vecteurs non colinéaires. Une base peut être définie aussi bien dans le cadre de la géométrie repérée que dans celui de la géométrie pure.

Ainsi, dès lors qu’une base est définie par deux vecteurs non colinéaires (ni parallèles ni confondus), n’importe quel vecteur peut être exprimé comme une somme de deux multiples de ces vecteurs. Soit \(k\) et \(m\) deux réels. Le vecteur \(\overrightarrow w \) est combinaison linéaire des vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) si \(\overrightarrow w = k\overrightarrow u + m\overrightarrow v \).

C’est d’ailleurs relativement intuitif. Prenez les deux vecteurs\(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) ci-dessous. Si l’on prend 1,5 fois \(\overrightarrow v \) pour lui ajouter un tiers de \(\overrightarrow u \), on obtient \(\overrightarrow w \).

u, v et w

En l’occurrence, \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) forment une base et \(\overrightarrow w \) est une combinaison linéaire de \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \).

Réciproquement, on peut obtenir \(\overrightarrow u \) avec \(\overrightarrow v \) et \(\overrightarrow w \) ou \(\overrightarrow v \) avec \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow w \). La base n’est alors plus la même.

Remarque : si \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) étaient colinéaires, ils ne pourraient pas permettre l’expression d'un vecteur \(\overrightarrow w \) muni d’une direction différente.

Notez que dans la représentation ci-dessus, \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \)ne partent pas du même point. En pratique, il est plus commode d’utiliser la même origine. C’est exactement ce que l’on fait lorsqu’on trace un repère \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\).

Autre exemple, avec les mêmes vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \).

u, v et w

Ici, \(\overrightarrow w = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{3}{2}\overrightarrow v \).

Dans les exercices qui vous sont habituellement soumis, l’astuce consiste souvent à trouver la décomposition la plus pertinente.

Les décompositions servent notamment à démontrer. Voir par exemple la page alignement de points. Mais il est aussi utile de savoir présenter des vecteurs dans plusieurs bases différentes. C’est l’objet de l’exercice ci-dessous.

 

Exercice

Soit un carré \(ABCD\) et un triangle équilatéral \(AED\).

ABCD et E

Exprimer \(\overrightarrow {AC} \) et \(\overrightarrow {AE} \) dans la base \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\) puis \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) et \(\overrightarrow {CD} \) dans la base \(\left( {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {ED} } \right)\).

Rappel sur le triangle équilatéral :

triangle équilatéral

 

Corrigé

1- Comme \(ABCD\) est un carré, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \). Et comme \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \) (relation de Chasles), alors \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

En s’aidant de la figure, le constat est immédiat : \(\overrightarrow {AE} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

2- Passons à la base suivante. D’abord, une simple relation de Chasles : \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} \).

La détermination de \(\overrightarrow {AB} \) dans la base \(\left( {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {ED} } \right)\) réclame davantage de réflexion. Il faut remarquer que \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {DE} = \sqrt 3 \overrightarrow {AB} \).

D’où \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {AE} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {ED} \).

Enfin, comme \(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} \), nous obtenons \(\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\overrightarrow {ED} \).

 

décomposition