Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Opérations sur les matrices

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Matrices : somme, produit, transposition et trace

Si vous avez le bonheur de connaître les propriétés des applications linéaires, alors vous en déduirez plus ou moins facilement les propriétés calculatoires des matrices.

Commençons par le plus simple.

La somme

Du moment que des matrices ont le même format, on peut les additionner terme à terme. C’est la conséquence de la loi de composition interne des combinaisons linéaires. Ou, pour être plus clair :

somme de matrices

L’addition de matrices est commutative, associative, possède un élément neutre (une matrice de zéros) et toute matrice a une opposée. Bref, le grand jeu.

La multiplication par un scalaire

Là encore, rien de bien sorcier. On multiplie une matrice par un nombre et tous les termes de la matrice se trouvent multipliés. C’est le coup classique de la loi de composition externe.

Cette loi est bien sûr associative. Par exemple :

multiplic par scalaire

Elle est distributive, c’est-à-dire qu’on retrouve les règles habituelles de factorisation.

Voir aussi l'exemple simple de la page traduction matricielle et la prise en main de la calculatrice TI-83 sur ces opérations simples.

Le produit matriciel

C’est ici que nos affaires se compliquent. Il ne s'agit plus de combinaisons linéaires mais de produits scalaires.

Réalisée à la main, une multiplication de matrices est très fastidieuse...

Attention, pas de commutativité. Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième. On peut alors « basculer en avant » la première matrice et additionner les produits des éléments qui se sont rencontrés. Cette somme ne constituera qu’un seul élément de la matrice résultat, comme on le verra sur l’exemple ci-dessous. Du coup, le produit d’une matrice (p,q), c’est-à-dire de p lignes et q colonnes, par une matrice (q,r) donnera une matrice (p,r).

Ces propriétés impliquent qu'une matrice au carré n'est pas égale à la matrice des carrés (voir la page puissance d'une matrice).

Exemple

Sur Excel, les deux matrices ont été multipliées grâce à l’add-in Matrix.

Voici ce que l’on obtient :

multiplication Excel

Le mécanisme peut être explicité ainsi :

multiplication de matrices

Etc.

Un produit de matrices s'exécute tout aussi simplement avec une calculatrice. À titre d'exemple, voyons comment résoudre la multiplication ci-dessus avec une TI-83.

D'abord, touche Matrice ou MATRX, puis EDIT. Là, on reste sur 1 et on valide. On entre ensuite le format de la première matrice, soit 3 × 4. Puis on entre dans le masque de la matrice avec la flèche vers le bas et on place les valeurs. On obtient ceci (toute la matrice n'apparaît pas à l'écran) :

matrice A

Puis à nouveau la touche Matrice, on descend sur 2 et même opération, cette fois pour entrer une matrice 4 × 2.

matrice B

On quitte ensuite le mode matriciel (2nde + Quitte). Le produit s'effectue en appelant la première (touche Matrice puis 1), touche de multiplication, puis appel de la seconde et validation. Résultat :

produit de matrices

Pour en terminer avec le produit matriciel, précisons que celui-ci est associatif : (AB)C = A(BC). Il est également distributif.

Une application concrète figure en page technique matricielle de gestion des stocks.

La transposée

Les colonnes deviennent les lignes et vice-versa. La transposée de la matrice M est notée M’ ou tM. Le produit d’une matrice par sa transposée donne une matrice carrée symétrique, où chaque élément aij est égal à l’élément aji.

Un exemple de matrice symétrique est la matrice des variances-covariances.

Pour une application du calcul matriciel en statistiques, voir page paramètres de la régression multiple (multiplication et transposition). La transposition de matrices est aussi omniprésente en analyse de données. Par exemple, le tableau de Burt s'obtient par multiplication du tableau disjonctif complet avec sa transposée.

La trace

Il ne s'agit pas d'une opération. C'est la somme des termes de la diagonale d'une matrice carrée. Propriété : tr (AB) = tr (BA).

Deux matrices semblables ont la même trace.

 

 

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