Les opérations sur matrices

Matrices : somme, produit, transposition et trace

Si vous avez le bonheur de connaître les propriétés des applications linéaires, alors vous en déduirez plus ou moins facilement les propriétés calculatoires des matrices.

Une partie du vocabulaire employé sur cette page est en principe inconnu des élèves de terminale. Donc, si vous êtes dans le secondaire, voyez plutôt les pages suivantes : traduction matricielle, produit matriciel, exercice de synthèse sur les matrices (bac ES) et toutes les pages auxquelles vous accéderez par les liens...

Commençons par le plus simple.

 

La somme

Du moment que des matrices ont le même format, on peut les additionner terme à terme. C’est la conséquence de la loi de composition interne des combinaisons linéaires. Ou, pour être plus clair :

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&3 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&4\\ 8&{ - 2} \end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&6\\ 7&1 \end{array}} \right)\)

L’addition de matrices est commutative, associative, possède un élément neutre (une matrice de zéros) et toute matrice a une opposée. Bref, le grand jeu.

 

La multiplication par un scalaire

Là encore, rien de bien sorcier. On multiplie une matrice par un nombre et tous les termes de la matrice se trouvent multipliés. C’est le coup classique de la loi de composition externe.

Cette loi est bien sûr associative. Par exemple :

\(2 \times \left( {3 \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&4 \end{array}} \right)} \right)\) \(= 6 \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&4 \end{array}} \right)\) \(= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&{ - 6}\\ {12}&{24} \end{array}} \right)\)

Elle est distributive, c’est-à-dire que l’on retrouve les règles habituelles de factorisation.

Voir aussi l'exemple simple de la page sur la traduction matricielle et la prise en main de la calculatrice TI-83 sur ces opérations simples.

 

Le produit matriciel

C’est ici que nos affaires se compliquent. Il ne s'agit plus de combinaisons linéaires mais de produits scalaires.

Réalisée à la main, une multiplication de matrices est très fastidieuse...

Attention, pas de commutativité. Le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième. On peut alors « basculer en avant » la première matrice et additionner les produits des éléments qui se sont rencontrés. Cette somme ne constituera qu’un seul élément de la matrice résultat, comme on le verra sur l’exemple ci-dessous. Du coup, le produit d’une matrice \((p,q),\) c’est-à-dire de \(p\) lignes et \(q\) colonnes, par une matrice \((q,r)\) donnera une matrice \((p,r).\)

Ces propriétés impliquent qu'une matrice au carré n'est pas égale à la matrice des carrés (voir la page sur la puissance d'une matrice).

Enfin, précisons que le produit matriciel est associatif : \((AB)C = A(BC).\) Il est également distributif.

L'élément neutre est la matrice identité (que des 0 sauf des 1 en diagonale).

Une application concrète figure en page technique matricielle de gestion des stocks.

 

Exemple

Sur Excel, les deux matrices ont été multipliées grâce à l’add-in Matrix.

Voici ce que l’on obtient :

multiplication Excel

Le mécanisme peut être explicité ainsi :

multiplication de matrices

Etc.

 

La transposée

Les colonnes deviennent les lignes et vice-versa. La transposée de la matrice \(M\) est notée \(M’\) ou \({}^tM.\) Le produit d’une matrice par sa transposée donne une matrice carrée symétrique, où chaque élément \(a_{ij}\) est égal à l’élément \(a_{ji}.\)

Un exemple de matrice symétrique est la matrice des variances-covariances.

Pour une application du calcul matriciel en statistiques, voir page paramètres de la régression multiple (multiplication et transposition). La transposition de matrices est aussi omniprésente en analyse de données. Par exemple, le tableau de Burt s'obtient par multiplication du tableau disjonctif complet avec sa transposée.

 

La trace

Il s'agit de la somme des termes de la diagonale d'une matrice carrée. Propriété : \(tr(AB) = tr(BA).\)

Deux matrices semblables ont la même trace.