Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La rentabilité des actifs financiers

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Rentabilité arithmétique ou logarithmique

Je n'évoquerai pas ici la rentabilité d'une entreprise considérée dans sa globalité mais seulement celle d’actifs financiers. Exercice pas trop difficile lorsque l'on n'observe qu'un seul titre ou même un indice, plus embêtant quand on analyse un portefeuille dans lequel les actifs vont et viennent comme la foule dans un hall de gare.

La rentabilité

Constatée ou prévisionnelle, elle représente la valeur des flux financiers (notamment les dividendes) et des plus ou moins-values latentes générés par un ou plusieurs actifs par rapport au montant d'acquisition. On considérera en revanche que le rendement n’inclut pas les dividendes. Malheureusement, ce terme n'est pas consacré. Certains auteurs le définissent au contraire comme provenant des seuls dividendes, embrouillant un peu plus le lecteur sur un sujet déjà moins facile que l'apprentissage de la belote.

La distinction est encore plus périlleuse lorsqu'il s'agit d'obligations avec prime d'émission ou de remboursement. C'est parfois sur simple décision de l'émetteur qu'un même flux est estampillé coupon ou capital...

Rentabilité et rendement se mesurent par des TAUX (au moins là-dessus, tout le monde est d'accord).

C'est à partir de la rentabilité que l'on mesure la volatilité historique et le bêta d'une action.

La rentabilité d’un actif

Sur une période donnée, il existe deux techniques pour calculer la rentabilité.

La première d’entre elles est arithmétique. On constate une valeur différente de l’actif en début et en fin de période, on lui ajoute les revenus perçus pendant ce laps de temps et on rapporte le tout à la valeur de départ. Ça semble évident. Certes, mais dès qu’on observe plusieurs périodes, on ne peut pas directement les additionner. Pour le faire, il faut utiliser les logarithmes. Ainsi, la deuxième formule est :

rentabilité

Sur plusieurs périodes, les modalités de calcul diffèrent selon que l’on a retenu l’une ou l’autre. Si l’on opte pour la formule logarithmique, la rentabilité moyenne sur plusieurs périodes est une moyenne arithmétique. Sinon, on calcule une moyenne géométrique. Théoriquement, rien de très compliqué. Des calculs de taux moyens font parfois l'objet d'une question dans les épreuves de mathématiques du bac ES.

Exemple :

Une action s'échange à 100. Trois ans plus tard, son prix s'établit à 60 mais a généré 14 de dividendes. On obtient un taux calamiteux de -26 %, soit × 0,74 sur 3 ans, et l'on cherche la moyenne annuelle de ce taux de rentabilité.

Le tableau ci-dessous permet de trouver ce nombre de deux façons. Soit xi la rentabilité ARITHMÉTIQUE de l’année i. La première manière consiste à poser Xi = 1 + xi puis à calculer le produit Π (1 + xi) = 0,74. La seconde technique, plus compliquée, passe par l’exponentielle de la somme des rentabilités logarithmiques (voir ci-dessous).

Calculons ensuite la rentabilité moyenne. Cette fois-ci, la seconde façon s’avère plus simple. On trouve 0,9045. La rentabilité moyenne annuelle s’établit donc à 0,9045 – 1, c'est-à-dire à -9,55 %.

Avec la première technique, on calcule la moyenne géométrique des (1 + xi) puis on retire 1. La seconde façon consiste à déterminer l’exponentielle d’une moyenne arithmétique.

rentabilité moyenne

Toutefois, l’espérance des rentabilités arithmétiques (en l’occurrence -8,26 %) a aussi son utilité : elle fournit une espérance pour la période t + 1 (Cf. « Théorie du portefeuille et analyse de sa performance », N. Amenc et V. Le Sourd, Economica 2003).

Voir aussi un petit exemple en page modèle de Gordon-Shapiro.

Maintenant que vous maîtrisez le calcul du taux moyen de rentabilité, sachez qu'il est beaucoup plus pratique d'utiliser un logiciel (lol).

Lorsque les revenus à venir sont connus (obligations) ou même estimés, un moyen de déterminer la rentabilité est d'utiliser le taux actuariel, modifié des frais divers et des impacts fiscaux. C'est le taux d'actualisation pour lequel la rentabilité est nulle.

Enfin, la rentabilité est affectée par la couverture ou non du risque de change lorsque le titre considéré est libellé en devise.

La rentabilité d’un portefeuille

Un portefeuille est un ensemble d'actifs différents. Il fait l’objet de sorties de capitaux à des dates variables et il reçoit des fonds. Ceux-ci sont soit les apports de la clientèle soit les revenus générés par le portefeuille (dividendes, coupons...). Tous ces flux, dans un sens comme dans l'autre, peuvent être quotidiens. Dès lors, la détermination d'une rentabilité devient vite un incroyable casse-tête...

En page rentabilités pondérées, vous trouverez des explications là-dessus ainsi qu'un exemple théorique.

Enfin, le bon vieux taux interne de rentabilité, habituellement calculé pour les investissements physiques, peut lui aussi être un bon indicateur de rentabilité d'un portefeuille. Mais il est d'interprétation moins directe que les taux pondérés et son suivi devient très lourd lorsque les flux sont nombreux...

 

 

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