Les nombres rationnels

Fractions et ensemble des rationnels

Vous le savez depuis la classe de sixième, un nombre peut s’écrire de différentes façons. Entre autres, sous forme décimale et sous forme de fraction, soit la division d’un entier divisé par un autre (ou par le même, auquel cas la fraction est égale à 1).

L’ensemble des nombres écrits sous forme fractionnelle, positifs et négatifs, est un ensemble numérique infini, celui des rationnels. Il comprend l’ensemble des entiers relatifs puisque ceux-ci peuvent être représentés comme des entiers divisés par 1, donc sous forme fractionnaire.

Dans le secondaire, on se familiarise avec les fractions au cours des quatre années de collège. En seconde, on en définit l'ensemble. Celui-ci est noté :

Q signifie « quotient », et plus précisément quoziente puisque c’est la mathématicien italien Giuseppe Peano qui l’a nommé ainsi à la fin du dix-neuvième siècle.

On approfondit l’étude de cet ensemble en licence de mathématiques. C’est pourquoi cette page comporte deux parties de niveaux très différents : un rappel des opérations de base puis une porte d’entrée vers diverses propriétés qui ne sont pas enseignées dans le secondaire.

Rappel des notions de base

Si l’on écrit la division a : b, avec a et b entiers et b non nul, a est le dividende et b est le diviseur.

Sous forme fractionnaire, nous l’écrivons ainsi :

a/b

a est le numérateur et b le dénominateur. Éventuellement, la barre de fraction peut être oblique (exemple : ½).

Le dénominateur est obligatoirement non nul puisque le « zéroième » d’un nombre ne signifie rien. Lorsqu'il est égal à 1, on ne l’écrit pas puisque le nombre est un entier.

Il faut garder à l’esprit que le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Voici quelques nombres écrits sous forme fractionnaire mais qui ne sont pas des fractions (le premier est mal présenté et les deux autres ne sont pas des rationnels) :

pas fractions

Des fractions peuvent être égales, c’est-à-dire qu’un même nombre peut être représenté par des fractions écrites différemment :

2/4 = 1/2

Si l’on prend comme unité des heures, cette écriture signifie que deux quarts d’heure sont égaux à une demi-heure.

Pour éviter les confusions, il existe une écriture « normalisée » : on présente toujours une fraction sous forme irréductible. Nous y reviendrons.

Attention, on peut convertir une fraction en forme décimale mais ce ne sera pas pour autant un NOMBRE décimal (voir la page sur les ensembles numériques).

Un pourcentage n’est autre qu’une fraction dont le dénominateur est 100. Exemple :

pourcentage

Une comparaison de deux entiers est simple ; on sait tout de suite quel est le plus grand et le plus petit. Mais une comparaison de deux fractions n’est pas toujours immédiate. Il faut soit les écrire sous forme décimale, soit avec le même dénominateur.

Pour l’écriture décimale, on divise à la main ou à la calculatrice.

La mise sous même dénominateur permet de comparer mais aussi d’additionner et de soustraire des fractions.

dénominateur commun

Les règles d’addition, de multiplication et de division sont les suivantes :

règles de calcul

Comme on peut présenter une division de fractions en fraction de fractions, attention à ne pas confondre ces deux nombres :

confusion possible

Autre règle à connaître, l’égalité du produit en croix (avec b et d non nuls) :

si ad=bc, a/b = c/d

Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1 (ne pas confondre avec l’opposé !). L’inverse de a / b est b / a (a et b non nuls). Par exemple, l’inverse de ½ est 2.

Une fraction est irréductible lorsque le seul diviseur positif commun au numérateur et au dénominateur est 1 (on dit que ces deux entiers, le numérateur et le dénominateur, sont premiers entre eux).

Ainsi on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie :

simplification

Évidemment, on supprime un FACTEUR commun au numérateur et au dénominateur, il est archi faux et illogique de supprimer des termes communs de sommes (et pourtant, on le voit même sur des copies de bac !)

Pour aller plus loin…

On peut définir l’ensemble des rationnels comme celui des nombres p / q tels que p est un entier relatif et q un entier naturel non nul. Formellement :

Q

Contrairement aux réels, les rationnels sont dénombrables. L’ensemble des réels est d’ailleurs composé des rationnels et des irrationnels.

Un nombre est rationnel si et seulement si il admet une écriture décimale finie ou périodique. Un exercice consiste à trouver à quelle fraction est égal un nombre donné sous forme décimale (voir la page écriture décimale d'un rationnel).

Propriété : tout nombre rationnel positif peut s’écrire comme une somme d’inverses d’entiers naturels (appelées fractions égyptiennes). Exemple :

fractions égyptiennes