Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le vecteur directeur

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Vecteurs directeurs d'une droite dans le plan et l'espace

Voici une page qui donne tout son sens à un mot issu du latin vector (celui qui véhicule ou qui est véhiculé), que l'on trouve aussi bien dans le mot « voiture » que dans l'expression « vecteur de maladie ». Mais ne craignez aucune contamination, attachez juste votre ceinture.

Le concept du vecteur directeur est simple à se représenter mentalement. Lorsqu’il est situé dans le plan, il est abordé en classe de première scientifique. La transposition dans l’espace ou dans un hyper-espace ne pose pas d'autre difficulté qu'un petit problème... visuel.

Dans le plan (programme de première S)

Un vecteur est caractérisé par une direction, une longueur (norme) et un sens. Deux vecteurs colinéaires ont une même direction mais pas nécessairement la même longueur ni le même sens. Dans le plan, ils sont représentés par deux flèches parallèles, voire confondues.

Toujours dans le plan, une droite peut être décrite par une équation réduite de type y = ax + b ou une équation cartésienne de type αx + βy + δ = 0 (voir page fonctions affines). Mais elle peut aussi l’être d’une autre façon : par l’un quelconque de ses points et par sa direction, c’est-à-dire par l’un des vecteurs colinéaires qui a la même « inclinaison » qu’elle.

Ces vecteurs sont dits directeurs à la droite.

L’exemple le plus simple est celui d’un repère (O ; i ; j) où l’axe des abscisses peut être défini par l’origine O et son vecteur directeur i tandis que l’axe des ordonnées l'est par O et par j.

Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite, le vecteur u (1 ; a) fait l’affaire. Si la droite apparaît sous forme cartésienne, on prend u (-β ; α) ou u (β ; - α).

Si cette droite passe par un point A, on peut alors l’écrire ainsi :

droite

A contrario, on définit une droite passant par A et de vecteur directeur u comme l’ensemble des points M tels que les vecteurs AM sont colinéaires à u.

On dit aussi qu’une droite est le support d’un vecteur.

Précision : il est évident que le vecteur nul n’aura jamais le privilège d’être un vecteur directeur.

Exercice

Soit (D) la droite d’équation -(3 – m)x + m²y – 1 = 0 qui passe par le point A (2 ; 5), m étant un entier naturel. Trouver m et un vecteur directeur de (D).

On remplace d'abord x et y par les coordonnées de A afin d’obtenir une seule équation à une inconnue.

-2(3 – m) + 5 – 1 = 0 donc 5 + 2m – 7 = 0

Calculons le discriminant. Il est égal à 144. L’équation admet deux solutions (1 et -1,4) dont une seule est un entier naturel. Donc m = 1 et l’équation de (D) est -2x + y – 1 = 0.

En utilisant la formule vue plus haut, nous déterminons un vecteur directeur de la droite (D) : (1 ; 2). Bien sûr, les vecteurs qui lui sont colinéaires sont aussi des vecteurs directeurs de (D) : (2 ; 4), (-1 ; -2), etc.

Note : c'est avec l'étude des produits scalaires que la notion de vecteur directeur montre toute son utilité, notamment pour démontrer que des droites sont perpendiculaires (voir par exemple les exercices sur l'orthogonalité en géométrie analytique).

Dans l’espace (programme de terminale S)

Dans un espace en trois dimensions, on a besoin de deux équations pour définir une droite. Mais il peut être commode de la définir là aussi par l’un de ses points et par l’un de ses vecteurs directeurs.

Soit le point A par lequel passe la droite et dont les coordonnées sont (xA ; yA ; zA) et λ est un réel.  On a le système suivant, dit représentation paramétrique d’une droite dans l’espace :

représentation paramétrique

En isolant λ, on obtient l’égalité suivante :

égalité

Un vecteur directeur de la droite est u (a ; b ; c).

Concrètement, comment trouver un vecteur directeur ?  Le plus simple est de relever deux points de la droite. La détermination du vecteur qui les relie est alors particulièrement facile puisqu’elle consiste ni plus ni moins en une triple soustraction.

Par exemple, si une droite passe par les points (0 ; 1 ; 3) et (2 ; 2 ; 0), un vecteur directeur est u (-2 ; -1 ; 3).

Exercice

Question 1 : soit D la droite de représentation paramétrique :

D

Donner les coordonnées d’un point de D puis déterminer une représentation paramétrique de D’ parallèle à D passant par le point A(1 ; 2 ; 3).

Question 2 : Soit P le plan d’équation  x + y – 2z + 2 = 0. Déterminer une représentation paramétrique de D’’ perpendiculaire à P et passant par le point B(0 ; 1 ; 4).

Corrigé de la question 1 : un point de D est (2 ; -1 ; 0) et un vecteur directeur est (3 ; 3 ; 5). Une droite passant par A et ayant le même vecteur directeur a pour représentation paramétrique :

D'

Corrigé de la question 2 : un vecteur normal à P a pour équation (1 ; 1 ; -2). Donc une représentation paramétrique de D’’ est…

D''

Voir aussi l'exercice de la page plan.

Au-delà de 3D, l’analyse des données

Le vecteur directeur n’est plus un sujet d’étude en soi après la classe de terminale, même s’il reste présent de façon plus ou moins implicite dans les cours d’algèbre linéaire et d’analyse des données.

Une droite apparaît alors comme un sous-espace affine généré par un vecteur (ce qui est plus valorisant pour elle que d’être une simple ligne droite…).

Les analyses factorielles consistent à déterminer des vecteurs propres qui sont les vecteurs directeurs des axes factoriels.

 

vecteur directeur

 

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