Racines n-ièmes et taux d'évolution moyen
Vous connaissez bien sûr la racine carrée. Mais il existe aussi la racine cubique et une racine pour chaque entier naturel ! Et dont l’utilisation est courante, notamment en mathématiques financières…
La racine énième (ou n-ième)
Résolvons une équation très simple dans \(\mathbb{R}_+\) :
\(x^n = a\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle{x = a^{\frac{1}{n}}}\)
Cette solution est appelée racine énième. On peut l’écrire de cette façon :
\(\displaystyle{a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}}\)
Si vous êtes en terminale STMG, cette notation n’est pas à votre programme. On se demande d’ailleurs pourquoi puisqu’on la trouve même sur les touches des calculatrices de collège !
Calculatrices et tableurs
Cette formule fait le lien entre les racines et les puissances. Si par exemple vous possédez une calculatrice très basique qui n’a pas de touche dédiée aux racines carrées, il suffit d’élever le nombre choisi à la puissance 0,5.
Si vous souhaitez calculer la racine quatrième de 81 avec une calculatrice TI-Collège Plus, vous pouvez obtenir le résultat soit avec les puissances (81 puis xn puis 1:4) soit avec la racine quatrième (4, 2nde, xn et 81). Pour info, le résultat est 3.
En revanche, les calculatrices graphiques TI n’ont pas de touche pour les racines énièmes, contrairement aux Casio. Vous devez donc convertir mentalement vos racines en puissances.
Il en est de même de la calculatrice Windows (choix : scientifique). Si par exemple vous devez résoudre l’équation \(x^4 = 5\,000,\) il faut entrer 5000 xy (1:4). Vous obtenez alors une valeur approchée de 8,40896.
Idem avec les tableurs : pas de fonction racine énième.
Taux d’évolution moyen
Une utilisation courante est le calcul d’une moyenne géométrique, c’est-à-dire d’une moyenne de facteurs (et non de termes qui s’additionnent, qui est la moyenne arithmétique habituelle). Dans quelles circonstances est-on amené à effectuer une telle moyenne ?
Vous connaissez sans doute le taux d’évolution global d’une période par rapport à une autre, résultat d’évolutions successives. La moyenne géométrique traduit alors le taux d’évolution moyen. Soit \(n\) évolutions successives ; le taux d’évolution entre la période initiale et la période \(n\) est le taux d’évolution global.
Si l’on souhaite connaître le taux d’évolution moyen, on part de ce taux global. Mais on ne peut pas calculer un taux moyen avec une moyenne arithmétique habituelle : il ne s’agit pas d’unités statistiques différentes mais d’une seule grandeur qui évolue \(n\) fois.
Ce qu’il faut alors faire, c’est partir du coefficient multiplicateur (ou multiplicatif) traduisant le taux d’évolution global et calculer sa racine énième. On obtient alors le coefficient moyen à partir duquel on trouve aisément le taux moyen.
Résumons. Soit \(T\) le taux global de \(n\) évolutions successives et \(t\) le nombre tel que \(1 + t\) est la racine énième de \(1 + T\) :
\(1 + t\) \(=\) \(\displaystyle{(1 + T)^{\frac{1}{N}}}\) \(=\) \(\sqrt[n]{1 + T}\)
Exemple
Le faucon crécerellette, plus petit rapace diurne d’Europe, niche dans la plaine de la Crau, près de la Camargue. En 1983, deux couples seulement y avaient construit leur nid. En 2015, on comptait 166 couples nicheurs, soit presque la moitié de la population française. Quel est le taux d’évolution annuel des crécerellettes dans la Crau ?
D’abord, combien y a-t-il d’évolutions successives ? \(2015 - 1983 = 32\) évolutions annuelles. Donc \(n = 32.\)
Calculons \(T,\) taux d’évolution global.
\(T\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{V_n - V_0}{V_0} \times 100}\) \(=\) \(8\,200\%\)
Le coefficient multiplicateur est donc de \(1 + \frac{T}{100} = 83.\) Quelle est la racine trente-deuxième de 166 ?
\(\displaystyle{\sqrt[32]{83} \approx 1,148077}\)
Le coefficient multiplicateur annuel est d’environ 1,148. Le taux d’évolution annuel moyen est donc de \(14,8\%\) environ.
On peut le vérifier en partant du nombre initial de couples nicheurs et en lui appliquant trente-deux fois ce taux d’évolution : \(2 × 83^{32} = 166\) aux arrondis près.
Exercice et corrigé succinct
Exercice extrait de l’épreuve de mathématiques du bac STG (M, CFE, GSI) Antilles-Guyane de juin 2008.
Évolution de la population en France
Le tableau ci-après est extrait d’une feuille de calcul d’un tableur. Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.
Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.
1. Calculer pour l’année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.
2. On fixe l’indice de la population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l’indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?
3. On s’intéresse dans cette question à l’évolution de la population totale.
a. Montrer qu’avec l’arrondi fixé le taux d’évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est \(37\%.\)
b. En déduire le taux annuel moyen d’augmentation entre 1954 et 1999.
Source : INSEE, recensement de la population
Éléments de correction
1. Nous ne détaillerons pas le corrigé. Réponse : \(63,2\%.\)
2. Idem. 120 en 1962 et 162,9 en 1982.
3. a) Non corrigé.
b) \(1999 - 1954 = 45\) ans. Le coefficient multiplicateur global sur cette période est de 1,37. Le taux est obtenu avec la calculatrice :
\(t\) \(=\) \(\displaystyle{1,37^{\frac{1}{45}} - 1}\) \(\approx\) \(0,007\)
Le taux annuel moyen d’augmentation est \(0,7\%\) (arrondi au dixième).
