Théorème de pythagore en géométrie sans repère
On a attribué à Pythagore de Samos ce bon vieux théorème archi connu depuis le collège. Pourtant, les Mésopotamiens le connaissaient déjà plus de mille ans auparavant. Aujourd'hui, on le trouve jusque dans les cours de statistiques plusieurs années après le bac ! Bon, nous n’allons pas faire ici de long voyage, ni dans l'Histoire ni dans les études, mais juste nous arrêter au collège pour la théorie et en classe de seconde pour la difficulté des exercices.
Le théorème
Si \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A,\) alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2.\) Autrement dit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Vous le saviez mais ça va mieux en le rappelant.
D’après le théorème réciproque, si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) alors le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A.\) Logique.
Et bien sûr la contraposée du théorème réciproque : si \(BC^2\) est différent de \(AB^2 + AC^2\) alors le triangle n’est pas rectangle (tant pis pour lui).
Par ailleurs, le milieu de l’hypoténuse est aussi le centre du cercle dans lequel le triangle rectangle est inscrit. Du même coup, si une corde est confondue avec le diamètre d’un cercle entre \(A\) et \(B\) (points situé sur le cercle), alors pour n’importe quel autre point \(C\) situé sur ce même cercle, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C.\)
Illustration ci-dessous où les angles sont droits en \(C\) et en \(D\) (réalisée avec Tracenpoche).
Note : le théorème de Pythagore n'est que le cas particulier d'un théorème général, celui d'Al Kashi qui est démontré en première générale.
Voyons à présent quelques exercices de géométrie sans repère sur lesquels les élèves de seconde peuvent plancher, élèves qui ont aussi l’occasion de se servir du théorème de Pythagore dans le cadre de la géométrie analytique (c’est-à-dire avec un repère) et dans celui de la trigonométrie.
Exercices
Exercice 1
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A.\) Calculer la longueur de l’hypoténuse sachant que \(AB = \sqrt{5} + 2\) et \(AC = \sqrt{5} - 2.\)
Exercice 2
Soit la figure ci-dessous. Nous savons que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) et que \(BCD\) est un triangle isocèle en \(D.\) Le triangle \(BCD\) est-il aussi rectangle ?
Exercice 3
Soit un cercle de centre \(O\) et de rayon \(a\) dans lequel un carré est inscrit. Quelle est l’aire du carré ?
Exercice 4
Voir la page sur le cerf-volant.
Exercice 5 (géométrie dans l'espace)
Voir l'exercice 2 de la page sur l'octaèdre.
Exercice 6 (idem)
Voir l'exercice de la page sur la pyramide.
Exercice 7 (pour classes de première, toutes filières)
Voir le problème de la page d'exercices sur le second degré.
Corrigés
Corrigé 1
Développons les identités remarquables. \(AB^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4\) donc \(AB^2 = 9 + 4\sqrt{5}\) et \(AC^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4\) donc \(AC^2 = 9 - 4\sqrt{5}.\)
D’après le théorème de Pythagore, \(AB^2 + AC^2 = BC^2,\) soit 18. La racine carrée est \(3 \sqrt{2}.\) Donc \(BC = 3 \sqrt{2}.\)
Corrigé 2
Comme \(ABC\) est un triangle rectangle, on applique le théorème de Pythagore pour connaître \(BC.\)
\(AB^2 + AC^2 = BC^2,\) donc \(36 + 100 = BC^2.\)
\(BC = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\)
Nous savons que \(BD = 2\sqrt{17} = DC\) (puisque le triangle est isocèle). Donc \(BD^2 = DC^2 = 68.\) Or, nous avons vu que \(BC^2 = 136.\) Donc, \(BD^2 + DC^2 = BC^2.\) D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ADC\) est rectangle en \(D.\)
Corrigé 3
Cet exercice est un peu plus difficile mais un élève de seconde a parfaitement le bagage pour le réaliser. On peut se représenter un cercle avec huit triangles rectangles isocèles qui sont tous réunis en \(O.\) Bien sûr, un seul d’entre eux nous est nécessaire.
Soit \(A\) un point situé au milieu d’un côté du carré et \(B\) un point du cercle tel que \(OAB\) représente un triangle rectangle. Nous cherchons d’abord à mesurer le côté du carré.
Une hypoténuse est égale à \(a.\) Appliquons le théorème de Pythagore.
Nous avons \(a^2 = OA^2 + AB^2 = 2OA^2.\) Il s’ensuit que : \(OA = \frac{a}{\sqrt{2}}.\)
Il faut multiplier ce résultat par 2 pour connaître la longueur d’un côté du carré. Un côté est donc égal à \(\frac{2a}{\sqrt{2}}\) \(=\) \(\frac{2 \times a \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\) \(=\) \(a \sqrt{2}.\)
L’aire du carré est égale au carré de cette mesure, donc \(2a^2.\)
