Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les courbes asymptotes

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Courbes asymptotes et branches paraboliques

Au lycée, l'étude des asymptotes est désormais un apanage de la filière scientifique. Elles prennent souvent la forme de droites desquelles s'approchent infiniment des courbes qui ne les toucheront jamais. Mais l'étude d'asymptotes courbes est également au programme. Les branches paraboliques ne sont quant à elles étudiées que dans le supérieur.

Courbes asymptotes

Ainsi, une courbe peut elle aussi avoir le privilège, à l’infini, de constituer une asymptote à une autre courbe représentative d'une fonction. La procédure est exactement la même que pour détecter une asymptote oblique. Exemple simple :

exemple

Il est limpide qu’à l’infini, cette fonction f se confond avec la fonction carré. Sur cette page, les graphes ont été réalisés sur GoeGebra. Ci-dessous, la courbe représentant f est rouge et sa consœur représentant la fonction carré est bleue :

courbe asymptote

La recherche d’une courbe C’ (représentative de g) asymptote à C (représentative de f) n’a d’intérêt que si l’expression de g est beaucoup plus simple que celle de f.

Un cas typique est celui d’une fonction polynomiale détectée grâce à la magie des développements limités. Dans la mesure du possible, on procède à un changement de variable en posant X = 1 / x puis en appliquant un développement de Mc Laurin (donc une recherche de limite en 0) à f(X).

Branches paraboliques

Un courbe admet une branche parabolique suivant l'axe des ordonnées lorsque...

branche parabolique

Elle s'élève alors en direction verticale. Parmi les fonctions usuelles qui se traduisent graphiquement par une telle ascension, on retiendra les fonctions de puissance entière (carré, cube…) et exponentielle. Comme elles sont définies sur l'ensemble des réels, leurs courbes n'admettent évidemment aucune asymptote verticale...

Inversement, si cette limite est nulle, la branche parabolique suit l'axe des abscisses (fonctions logarithme ou racine carrée, par exemple...).

Voici l'expression d'une fonction f fort sympathique, définie sur R :

exemple

Il est évident que :

limite infinie

Est-il possible d’en savoir davantage ? Certes...

calcul de la limite

Par conséquent, la courbe représentative de f admet une branche parabolique qui, sur plus l’infini, suit l’axe des ordonnées.

branche parabolique

Une branche parabolique peut aussi suivre un axe oblique.

Exemple : la fonction f définie sur R+* par f(x) = ln x + 0,5 x. Sur plus l’infini, la courbe admet une branche parabolique qui suit la fonction affine (droite) d’équation y = 0,5 x.

branche oblique

Autres comportements asymptotiques

Ci-dessous, la représentation de la fonction f définie sur R par f(x) = x + cos x montre un autre type de comportement asymptotique.

comportement asymptotique

 

branche parabolique

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés