Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Exercices sur nombres complexes

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercices sur la forme algébrique des complexes

Vous prendrez bien quelques exercices progressifs d’initiation aux nombres complexes, de niveau terminale scientifique ? Ceux-ci, assez simples, n’utilisent que la forme algébrique. Voici le menu (NB : l'exercice de la page opérations avec complexes peut s'intercaler entre les exercices 1 et 2. Vous trouverez aussi des exercices plus simples en page réécritures de complexes).

Exercice 1

En guise de hors d’œuvre, je vous propose de trouver la partie réelle et la partie imaginaire du nombre suivant :

z

Cet exercice ne nécessite qu’une connaissance basique des nombres complexes. Il faut obtenir une forme z = x + yi. Faisons donc disparaître en premier lieu le i du dénominateur.

quantité conjuguée

Il nous reste à couper cette expression en deux de façon à faire apparaître la structure désirée.

résultat

Le premier terme est la partie réelle et ce qui multiplie i est la partie imaginaire.

Exercice 2

Notre menu se poursuit par l’entrée suivante : résoudre l’équation   4z + 5 = 0

Le calcul du discriminant conduit à -4. L’équation admet donc deux solutions de type…

racines

En l’occurrence…

solutions

Exercice 3

Le plat du jour est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1999 (Asie) :

Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z4  – 1.

a - Factoriser P(Z)

Question facile si l’on se souvient des identités remarquables. P(Z) = (– 1)(Z + 1)(Z² + 1).

b - En déduire les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P(Z) = 0, d’inconnue Z :

On voit que les solutions sont {- 1 ; 1 ; - i ; i}.

c - Déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation d’inconnue z :

exercice

C’est la technique classique du changement de variable. Si l’on remplace la fraction par une variable auxiliaire Z, on obtient Z4 = 1, c’est-à-dire Z4 – 1 = 0. La question précédente nous a permis d’affirmer que les solutions étaient -1, 1, i et - i. Pour peu que z soit différent de 1 et Z différent de 2, on a :

avec variable auxiliaire

On exprime z en fonction des quatre valeurs connues de Z. Il est évident que si Z = -1, alors z est nul et si = 1 il s’ensuit que z = -2. Si Z = i, il faut suivre à nouveau la procédure de notre premier exercice.

si z = i

Et lorsque Z = -i, nous obtenons le conjugué de ce nombre.

Exercice 4

Et maintenant, le dessert. Il s’agit de la première question d’un exercice extrait de l’épreuve du bac S de juin 2002 (Antilles et Guyane).

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v). On considère les points I et A d’affixes respectives 1 et -2. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle (C) le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l’exercice.

Soit B le point d’affixe b où b = (1 + 4i) / (1 – 2i). Écrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C).

Correction. Pour l’avoir déjà fait deux fois depuis le haut de cette page, nous savons à présent transformer une écriture avec la plus grande aisance. En l’occurrence…

b

B appartient au cercle de centre K si la distance entre K et B (le rayon) est égale à celle qui sépare K et A. Il apparaît clairement dans l’énoncé que l’affixe de K est -0,5 et donc que KA = 1,5.

KB

La formule qui permet de calculer une distance euclidienne est connue depuis le collège. Il en découle que…

KB

Donc KA = KB, ce qui montre bien que B fait partie du cercle (C). Illustration avec Tracenpoche :

cercle

 

complexité

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés