Exercices sur nombres complexes

Exercices sur la forme algébrique des complexes

Vous prendrez bien quelques exercices progressifs d’initiation aux nombres complexes, de niveau terminale scientifique ? Ceux-ci, assez simples, n’utilisent que la forme algébrique. Voici le menu (note : l'exercice de la page opérations avec complexes peut s'intercaler entre les exercices 1 et 2. Vous trouverez aussi des exercices plus simples en page réécritures de complexes et des révisions pour bac S en page cercle dans le plan complexe).

Exercice 1

En guise de hors d’œuvre, je vous propose de trouver la partie réelle et la partie imaginaire du nombre suivant :

z

Cet exercice ne nécessite qu’une connaissance basique des nombres complexes. Il faut obtenir une forme z = x + yi. Faisons donc disparaître en premier lieu le i du dénominateur.

quantité conjuguée

Il nous reste à scinder cette expression pour faire apparaître la structure désirée.

résultat

Le premier terme est la partie réelle et ce qui multiplie i est la partie imaginaire.

Exercice 2

Notre menu se poursuit par l’entrée suivante : résoudre l’équation   4z + 5 = 0

Le calcul du discriminant conduit à -4. L’équation admet donc deux solutions de type…

racines

En l’occurrence…

solutions

Exercice 3

Le plat du jour est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1999 (Asie) :

Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z4  – 1.

a - Factoriser P(Z)

Question facile si l’on se souvient des identités remarquables. P(Z) = (– 1)(Z + 1)(Z² + 1).

b - En déduire les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P(Z) = 0, d’inconnue Z :

On voit que les solutions sont {- 1 ; 1 ; - i ; i}.

c - Déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation d’inconnue z :

exercice

C’est la technique classique du changement de variable. Si l’on remplace la fraction par une variable auxiliaire Z, on obtient Z4 = 1, c’est-à-dire Z4 – 1 = 0. La question précédente nous a permis d’affirmer que les solutions étaient -1, 1, i et - i. Pour peu que z soit différent de 1 et Z différent de 2, on a :

avec variable auxiliaire

On exprime z en fonction des quatre valeurs connues de Z. Il est évident que si Z = -1, alors z est nul et si = 1 il s’ensuit que z = -2. Si Z = i, il faut suivre à nouveau la procédure de notre premier exercice.

si z = i

Et lorsque Z = -i, nous obtenons le conjugué de ce nombre.

Exercice 4

Et maintenant, le dessert. Il s’agit de la première question d’un exercice extrait de l’épreuve du bac S de juin 2002 (Antilles et Guyane).

Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v). On considère les points I et A d’affixes respectives 1 et -2. Le point K est le milieu du segment [IA]. On appelle (C) le cercle de diamètre [IA]. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l’exercice.

Soit B le point d’affixe b où b = (1 + 4i) / (1 – 2i). Écrire b sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle (C).

Correction. Pour l’avoir déjà fait deux fois depuis le haut de cette page, nous savons à présent transformer une écriture avec la plus grande aisance. En l’occurrence…

b

B appartient au cercle de centre K si la distance entre K et B (le rayon) est égale à celle qui sépare K et A. Il apparaît clairement dans l’énoncé que l’affixe de K est -0,5 et donc que KA = 1,5.

KB

La formule qui permet de calculer une distance euclidienne est connue depuis le collège. Il en découle que…

KB

Donc KA = KB, ce qui montre bien que B fait partie du cercle (C). Illustration avec Tracenpoche :

cercle

 

complexité