La dérivation de fonctions composées

Fonctions composées : formules et exercices

Si vous êtes en terminale (maths de spécialité), cette page est pour vous. Cette année vous étudiez des compléments sur la dérivation, à commencer par la dérivée d’une composée de fonctions. Nous supposerons que vous savez ce qu’est une composée puisque vous avez probablement vu cette année les limites de fonctions composées et l’an dernier la dérivée de \(g(x) = f(ax + b)\) qui est un cas particulier de dérivée de composées.

 

Les dérivées

Ci-dessous, \(n ∈ \mathbb{N}^*\)

Fonction Dérivée
\(x ↦ u^n(x)\) \(x ↦ nu’(x)u^{n-1}(x)\)
\(x ↦ \frac{1}{u^n(x)}\) \(x ↦ -\frac{nu’(x)}{u^{n+1}(x)}\)
\(x ↦ \sqrt{u(x)}\) \(x ↦ \frac{u’(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)
\(x ↦ e^{u(x)}\) \(x ↦ u’(x)e^{u(x)}\)

Nous n’avons pas précisé les ensembles de dérivabilité mais vous vous souvenez qu’un dénominateur doit être non nul et qu’une racine carrée doit être positive (strictement positive pour la dérivabilité).

Ajoutons d’autres fonctions de référence que vous n’avez peut-être pas encore étudiées.

Fonction Dérivée
\(x ↦ \ln u(x)\) \(x ↦ \frac{u’(x)}{u(x)}\)
\(x ↦ \cos u(x)\) \(x ↦ -u’(x) \sin u(x)\)
\(x ↦ \sin u(x)\) \(x ↦ u’(x) \cos u(x)\)

Là encore, nous n’avons pas précisé les ensembles de dérivabilité des fonctions. Ce sont les ensembles de définition des dérivées.

 

Exercices

Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer l’ensemble de dérivabilité et donner une expression de la dérivée.

  1. \(f(x) = (x^2 - x + 1)^4\)
  2. \(g(x) = \frac{2}{5(2x - 1)^4}\)
  3. \(h(x) = x \sqrt{x^2 - 2}\)
  4. \(i(x) = \frac{e^{2x + 3}}{e^x}\)

 

Corrigés

1- L’ensemble de dérivabilité de \(f\) est \(\mathbb{R}\).

\(f’(x) = 4(2x - 1)(x^2 - x + 1)^3\)

Il n’est pas nécessaire de développer. Il est toujours plus intéressant d’avoir la forme factorisée d’une dérivée pour étudier son signe.

Voir aussi la page d’exercices de dérivation de fonctions puissance.

2- L’ensemble de dérivabilité de \(g\) est \(\mathbb{R} \backslash \{0,5\}.\)

\(g(x) = \frac{2}{5} × \frac{1}{(2x - 1)^4}\) (étape non nécessaire mais qui permet de bien se positionner vis-à-vis des formules).

\(g’(x) = \frac{2}{5} × \frac{-4 × 2}{5(2x - 1)^5}\)
\(⇔ g’(x) = -\frac{16}{5(2x - 1)^5}\)

3- L’ensemble de dérivabilité de \(h\) est \(\mathbb{R}\).

Nous avons affaire à un produit de fonctions.

Rappel : la dérivée de \(u(x) × v(x)\) est \(u’(x)v(x) + u(x)v’(x)\)

Ici, \(u(x) = x\) donc \(u’(x) = 1.\)

\(v(x) = \sqrt{x^2 - 2}\) et, d’après la troisième ligne de notre cher tableau, \(v’(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 2}}\)

Donc \(h’(x) = \sqrt{x^2 - 2} + x × \frac{x}{\sqrt{x^2 - 2}}\)

Une forme plus présentable :

\(h’(x) = \frac{x^2 - 2 + x^2}{\sqrt{x^2 - 2}}\)  \(=\) \(\frac{2x^2 - 2}{\sqrt{x^2 - 2}}\)

Voir aussi les exercices de dérivation de fonctions racine.

4- L’ensemble de dérivabilité de \(i\) est \(\mathbb{R}\) (\(e^x\) est strictement positif).

La structure de \(i\) est un quotient de fonctions.

Rappel : la dérivée de \(\frac{u(x)}{v(x)}\) est \(\frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v^2(x)}\)

En l’occurrence, \(u(x) = e^{2x + 3}\) et \(u’(x) = 2 e^{2x + 3},\) \(v(x) = e^x\) et \(v’(x) = e^x.\)

\(i’(x) = \frac{2e^{2x+3} × e^x - e^xe^{2x+3}}{(e^x)^2}\)

Factorisons par \(e^x.\)

\(i’(x) = \frac{e^x(2e^{2x+3} – e^{2x + 3})}{e^{2x}}\)

Simplifions.

\(i’(x) = \frac{e^,{2x + 3}}{e^x}\)

Incroyable, la fonction est égale à sa dérivée.

Voir aussi les trois exercices de dérivation avec fonction exponentielle.

 

Question subsidiaire

Même consigne avec \(f : x↦ \ln(-x^2 + x - 5)\)

Corrigé

D’abord, vérifions l’ensemble de définition. Il faut que le polynôme soit strictement positif. L’étude de son signe nécessite le secours du discriminant.

\(Δ = 1^2 - 4 × 5 = -19\)

Diable ! Un discriminant négatif ! Donc le signe du polynôme est du signe de \(a,\) coefficient de \(x^2.\) Et celui-ci est négatif ! Donc cette fonction n’est pas définie sur \(\mathbb{R}.\) Inutile de dériver quelque chose qui n’existe pas, ce serait tomber dans un piège sournois…

 

dérivant