Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Quelques exemples de systèmes d'équations

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Compléments sur les systèmes d'équations

Les systèmes d’équations ou d’inéquations à plusieurs inconnues donnent lieu à diverses applications, notamment en gestion (prestations réciproques, choix de production…). Leur résolution ne pose aucune difficulté notable tant qu’ils restent dans la cadre très classique de la linéarité mais certains cas de figure peuvent, à l’occasion, comporter quelques subtilités. Cette page en présente un petit florilège à la faveur d’exercices dont le niveau est celui d’une classe de première.

Afin de ne pas alourdir les exemples, je ne présenterai ici que des systèmes à deux inconnues.

Changements de variable

Un système non linéaire peut être facilement transformé pour peu qu’une inconnue apparaisse toujours sous une même forme. Dans celui qui se présente ci-dessous, il n’y a pas de « mélange » entre des x et des . C’est pourquoi le changement de variable coule de source.

système avec carrés

Remplaçons par X et par Y. Il n’est pas difficile de deviner que X = 4 et Y = 1 puis de revenir à la variable de départ. Si l’on travaille sur l'ensemble des réels, les solutions sont x = 2 ou x = -2 tandis que y = 1 ou y = -1.

Les périlleuses situations desquelles cette vieille ruse du changement de variable nous tire d’embarras sont infinies. Voyons un autre exemple…

système avec inverses

On pose X = 1 / (x – 2) et Y = 1 / (y + 4), ce qui se traduit par une configuration beaucoup plus sympathique :

changement de variables

On trouve X = 5 et Y = 2. Donc, 1 / (x – 2) = 5 et 1 / (y + 4) = 2. Ainsi, x = 11 / 5 et y = -7 / 2.

Paramètres

Lorsque le système abrite plus d’inconnues que d’équations, il n’existe pas de solutions uniques. Supposons qu’il n’y a qu’UNE inconnue en trop (pour ne pas vous ennuyer avec une usine à gaz). On exprime alors chaque solution en fonction de l’une d’entre elles.

Exemple. Résoudre en fonction du paramètre m :

système avec paramètre

Rappelons d’abord qu’un système…

forme générale

… n’admet de solution que si a1b2 – a2b1 est différent de zéro. C’est une simple conséquence de la colinéarité entre deux vecteurs telle qu’elle est enseignée en classe de seconde.

En l’occurrence, m – (2 × 3) doit être non nul, c’est-à-dire que m doit être différent de 6 pour que le système admette des solutions. On le vérifiera d’ailleurs ci-dessous…

Résolvons par substitution.

3(-2y – 3) + my – 2m + 3 = 0, d’où -6my = 6 + 2m. Ainsi :

y

Nous constatons à nouveau que m ne peut être égal à 6. Idem sur les valeurs possibles de x :

x

Une infinité de solutions se présentent mais l’une d’entre elles est particulièrement intéressante, en l’occurrence celle qui est indépendante du paramètre m. Pour la trouver, il faut réécrire la seconde équation ainsi : m(y – 2) = -3x – 3. Afin qu’elle soit vérifiée quel que soit la valeur de m, il faut que (y – 2) soit égal à zéro et (-3x – 3) aussi. Logique, non ? Donc y = 2 et x = -1. Cette équation décrit une infinité de fonctions affines qui passent toutes par le point (-1 ; 2), c’est-à-dire une famille de droites.

Un système comportant davantage d’équations nécessite l’application du pivot de Gauss.

Formes factorisées

Supposons un système où ab = 0 et cd = 0. Sa résolution nécessite celle de quatre systèmes… On voit que ces équations reviennent à poser soit a soit c qui sont tous les deux nuls, à moins que ce ne soit a et d, b et c ou encore b et d.

Soit, à titre d’exemple, le système suivant :

système factorisé

On doit donc résoudre quatre systèmes et obtenir, si tout se passe bien, quatre couples de solutions.

4 systèmes

Tout se passe effectivement bien et l'on trouve S = {(-3 / 8 ; 17 / 8) ; (4 / 7 ; -5 / 7) ; (-11 / 14 ; 1 / 14) ; (-1 / 5 ; -11 / 10)}.

Intersection de deux courbes

En analyse, il est habituel de chercher le point qui a le grand honneur d’accueillir le croisement de deux courbes (ou la droite qui se trouve au croisement de deux plans, etc.). Il existe des applications pratiques dans le domaine de la gestion (optimum technique, optimum économique, seuil de rentabilité, point d’équilibre, etc.). Si l’on dispose de l’expression algébrique de deux fonctions à étudier, la résolution suit souvent le même principe : on isole y (l’ordonnée, valeur que prend la fonction) avant de poser l’égalité entre les deux expressions, permettant de trouver la ou les valeurs de x puis les valeurs de y pour chaque solution x. En économie, il est fréquent d’étudier des fonctions à plusieurs variables. La résolution de systèmes disposant de trop peu d’équations requière alors soit la fixation des variables en trop (ce sont des « contraintes »), soit des solutions infinies mais structurées (voir plus haut la section « paramètres »).

 

yoga

 

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