Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Transformation affine d'une variable aléatoire

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Propriétés d'une v.a. transformée

Les élèves de première S trouveront ci-dessous une aide à la compréhension d’un point de leur programme de maths situé en plein chapitre sur les probabilités.

Ce point est la transformation d’une variable aléatoire (v.a.) en une autre, plus pratique à utiliser. À l’époque des ordinateurs, un changement de variable peut sembler anachronique. Il n’en est rien. Seulement, c’est à partir de la terminale que l’on comprend les raisons de ce bidouillage.

Espérance et dispersion

Soit la v.a. définie par Y = aX + b (a et b étant des réels).

Pour commencer, une propriété de l’espérance : E(Y) = aE(X) + b

Inutile d’être un mathématicien chevronné pour le démontrer. Soit la loi de probabilité suivante :

modèle de loi discrète

Ainsi...

E(Y)

Il est dès lors limpide que…

E(Y)

Par définition, le premier terme n’est autre que l’espérance multipliée par a. Par ailleurs, la somme de toutes les probabilités est égale à 1.

Par conséquent, on a bien E(Y) = aE(x) + b

Quid de la variance ?

V(Y) = a²V(X)

Démonstration.

démonstration

Une simplification s’impose.

simplification

Factorisons.

factorisation

Faisons apparaître l’expression de la variance.

expression de la variance

Du coup, la transformation de l’écart-type est évidente :

écart-type

Exemple

Dans un atelier sont produites des portes d’intérieur. Leur hauteur est théoriquement de 204 cm. Hélas, la perfection n’est pas de ce monde et il existe une légère imprécision sur cette mesure. Selon le contrôle opéré par le responsable de la qualité, la hauteur des portes est une variable aléatoire qui obéit à la loi de probabilité suivante :

loi de X

Étudions la v.a. Y = 10X – 2040

loi de Y

D’abord, l’espérance…

E(Y) = -0,2 – 0,3 + 0,1 + 0,2 = -0,2

Donc E(X) = -0,2 / 10 + 2040 = 203,98

Il est d’ailleurs rapide de vérifier ce résultat à la calculatrice en utilisant directement la v.a. X (mode d’emploi avec la TI-82 en page série statistique).

Et la variance dans tout ça ?

V(Y) = 0,1(-2 + 0,2)² + 0,3(-1 + 0,2)² + 0,4(0 + 0,2)² + 0,1(1 + 0,2)² + 0,1(2 + 0,2)² = 1,16

Donc V(X) = 1,16 / (10)² = 0,0116

Là encore, il est facile de vérifier et même plus rapide de calculer directement V(X) avec la calculatrice. L’écart-type est environ égal à 0,1077032961. Vous me pardonnerez cette aproximation due à la taille limitée de l’écran de la TI-82.

On trouve l’écart-type avec la calculatrice mais on peut aussi le calculer en déterminant la racine carrée de 0,0116 ou encore en passant par l’écart-type de Y (soit 1,077032961), divisé par la valeur absolue de a, c’est-à-dire 10.

 

transformation

 

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