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(et fondements mathématiques)

Trois exercices de dérivation avec fonction exponentielle

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Dérivées de fonctions "célèbres" avec exponentielles

Trois exercices d’entraînement pour dériver des fonctions composées avec exponentielle. Ils ont un point commun, celui d’être prétexte à la découverte de fonctions types, régulièrement employées en modélisation. En principe, le niveau de ces exercices est adapté à la terminale S mais pour l'essentiel, ils restent théoriquement accessibles à des élèves de terminale ES.

Rappel : sur R, la dérivée de la fonction exp(u(x)) est u’(x) exp(u(x)).

Exercice 1 : loi de Gumbel standardisée

Soit la fonction F définie sur R par F(x) = exp(-e-x)

1- Soit f sa fonction dérivée. Montrer que :

f(x)=exp(-x-exp(-x))

L’expression de cette fonction est celle de la densité d’une loi de probabilité, la loi de Gumbel, qui permet de modéliser la survenance de catastrophes (crues, krachs boursiers…).

2- Déterminer la dérivée de f.

3- Étudier les variations de f.

Exercice 2 : fonction logistique

Cet exercice est extrait de l’épreuve de maths du bac S à Pondichéry, avril 2013. Il permet d’approcher à travers un exemple la fameuse fonction logistique, avec laquelle sont modélisés des phénomènes aussi divers que la diffusion d’un nouveau produit ou une réaction autocatalytique.

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps (…). La hauteur est en mètres et le temps en jours. (…)

On considère (…) que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par

f(t)=2/(1+19exp(-0,04t))

Déterminer f’(t) en fonction de t (f’ désignant la fonction dérivée de la fonction f). En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].

Exercice 3 : loi de Weibull

Soit la fonction F définie sur R par (avec α et λ positifs) :

1-exp(-(lambdax)puiss alpha)

1- Donner l’expression et le signe de sa dérivée f.

2- Tracer la courbe représentative de f pour α = 2, λ = 10 et x  [0 ; 0,5].

Note : F est la fonction de répartition de la loi de Weibull et f est sa fonction de densité. Cette loi de probabilité sert notamment à modéliser les durées de vie. Si α = 1, on retombe sur la loi exponentielle (qui est donc un cas particulier de la loi de Weibull).

Corrigé 1

1-  Nous sommes en présence d’une fonction composée de deux fonctions exponentielles.

(-e-x)’ = e-x donc f(x) = e-x exp(-e-x). Par propriété des puissances, on modifie cette expression pour la remplacer par celle qui est donnée dans l’énoncé.

2- La dérivée de e-x est -e-x. Par conséquent, la dérivée (-x – e-x)’ est égale à (-1 + e-x).

Donc :

f'(x)=(-1+exp(-x))exp(-x-exp(-x))

3- Trouvons pour quelle(s) valeur(s) de x f’ s’annule. Le second facteur étant une exponentielle, il est strictement positif. En posant une inéquation, nous obtiendrons le signe de f’ :

-1 + e-x > 0
 e-x > 1
 -x > 0
 x < 0

f’ est donc positive pour x négatif et inversement. Par conséquent, f est croissante sur]- ; 0] et décroissante sur [0 ; +[.

Corrigé 2

f est de la forme 2 × (1 / u), donc f’ est de la forme -2u’ / u².

u(t) = 1 + 19e-0.04t

Donc u’(t) = -0,04 × 19e-0.04t
= -0,76 e-0.04t

f'(t)

f'(t)

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. La fonction f est donc strictement croissante (bon, on se doutait un peu que le plant de maïs n’allait pas rétrécir !).

Corrigé 3

1- La dérivation de F ne pose pas de difficulté mais rappelons à tout hasard que la dérivée d’une fonction puissance (un)’ est u’nun-1.

Il s’ensuit que :

densité de Weibull

Le signe de f est positif puisque les trois facteurs sont tous positifs. F est donc croissante.

2- Si α = 2 et λ = 10, l’expression de f devient f(x) = 200x exp(-100). La courbe représentative de F, réalisée avec Geogebra :

représentation de F

 

dérive de la loi

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