Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Deux exercices sur fonction exponentielle de base a

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Introduction à l'exponentielle de base a (ou q)

Ici vous trouverez une présentation succincte des fonctions de type ax ainsi que quelques entraînements sur les puissances. Dans les programmes de terminale, cette présentation peut introduire la fonction exponentielle de base e (ES) tandis que d’autres programmes se limitent à l’étude des fonctions exponentielles de base a que voici (ST2S).

Un peu de cours…

Soit a un réel strictement positif. La fonction f définie sur R telle que f(x) = ax est appelée fonction exponentielle de base a. Elle est strictement positive, dérivable et convexe sur R, strictement décroissante si 0 < a < 1 et strictement croissante si a > 1.

L’une de ses propriétés est de transformer les sommes en produit : an × apan+p

Rappel des propriétés des puissances :

puissances

On peut remarquer la symétrie des courbes ax et (1 / a)x entre elles ainsi que la parité de ax + a-x. Illustrons par un exemple. Soit les fonctions f, g et h définies sur R telles que f(x) = 2x, g(x) = 0,5x et h(x) = 2x + 0,5x, les courbes représentatives apparaissent ainsi (Cf en rouge, Cg en bleu et Ch en vert). Réalisation sur SineQuaNon.

exponentielles de base a

Les fonctions exponentielles de base a peuvent être considérées comme la version de R sur R des suites géométriques (de N sur R). Elles ont donc les mêmes limites à l’infini, qui dépendent de la valeur de a.

Exemple : soit la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = un × 1,3 et soit la fonction f(x) = 1,3x. Représentations graphiques (sur Excel et SineQuaNon) :

suite géométrique fonction exponentielle

Exercice 1

Simplifier les expressions suivantes :

A

B

C

D

E

F

Exercice 2

Sachant que les courbes ci-dessous représentent des fonctions exponentielles, trouver les équations de celles-ci.

courbes

Corrigé 1

A

B

C

D

E

(Identité remarquable)

F

Corrigé 2

Soit f la fonction représentée par la courbe rouge. Nous remarquons que f(1) = 3. Donc f(x) = 3x.

Soit g la fonction représentée par la courbe bleue. Le seul point identifiable par lequel elle passe est (2 ; 5), c’est-à-dire g(2) = 5. Donc  = 5. Il s’ensuit que g(x) = (√5)x.

Soit h la fonction représentée par la courbe verte. On sait que 0 < a < 1 puisque h est décroissante. On lit que h(-1) = 4. Si x-1 = 4 (ou 1/x = 4, si vous préférez), alors h(x) = 0,25x.

NB : ces courbes illustrent aussi ce que vous saviez déjà : un réel à la puissance 0 est égal à 1.

 

puissance

 

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