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(et fondements mathématiques)

La fonction exponentielle de base a

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Fonction exponentielle de base a, calculs avec puissances

Voici une fonction usuelle, abordée dans quelques programmes de terminale et au cours des études supérieures. C’est la fonction de type ax, a étant un réel strictement positif. Si vous êtes en classe de terminale, dirigez-vous plutôt en page d'introduction à aux fonctions exponentielles, rédigée à votre intention.

La fonction

Mise en garde : il serait malvenu de la confondre avec une fonction puissance, de type xa.

On établit ainsi le lien avec la fonction exponentielle de base e :

exponentielle de base a

L'ensemble de définition est particulièrement vaste puisqu’il s’agit de R. L’exigence de stricte positivité ne porte que sur a et l’égalité ci-dessus permet de comprendre pourquoi (condition d’existence d’un logarithme).

Donc, à l’instar de la fonction exponentielle de base e, celle de n’importe quelle base > 0 est continue, convexe, strictement positive et monotone.

Cette monotonie se traduit par une croissance si a est strictement supérieur à 1 et par une décroissance si a est compris dans l’intervalle ]0 ; 1[. Il est bien évident que si a = 1, la fonction est constante…

Il est tout aussi évident que, quel que soit a, la courbe représentative de la fonction passe par le point (0 ; 1) et que ladite fonction prend la valeur a lorsque x est égal à 1.

La dérivée est f’(x) = (ln a)ax. Là encore, la formule ci-dessus permet de la retrouver facilement.

Ci-dessous, la courbe bleue représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = 3x donne tout son sens à l’expression « croissance exponentielle ». La courbe rouge représente g(x) = 1,25x. La verte illustre h(x) = 0,5x (réalisation sur SineQuaNon).

exponentielles de base a

Dans la mesure où il s’agit d’une application bijective (fonction monotone continue), la fonction exponentielle de base a admet une réciproque. Il s’agit de la fonction logarithme de base a. Ainsi, la réciproque de f(x) = 10x est la fonction logarithme décimal (représentation des deux fonctions ci-dessous).

logarithme décimal

Les primitives de la fonction sont de la forme suivante (la lettre c indiquant une constante) :

primitive

La fonction exponentielle de base a est rarement rencontrée telle quelle, en particulier dans les exercices de maths. Dans les situations les plus simples, il existe au moins un réel b qui vient jouer les trublions en multipliant notre ax et la fonction prend la forme f(x) = bax. C’est ainsi qu’on retrouve la version « continue » (de R dans R) d’une suite géométrique (de N dans R) qui s’exprime quant à elle sous la forme un = u0 × qⁿ, q étant la raison. Dans les applications économiques, la suite géométrique se rencontre beaucoup plus souvent que la fonction exponentielle de base a.

Propriétés

Cette page est l’occasion de rappeler les règles de calcul sur les puissances (règles valables même si a est négatif) :

puissances

Rappelons qu'une racine énième équivaut à une puissance 1 / n.

Résolution d’équations :

équation

Exercice (entraînement au passage d’une puissance à l’exponentielle d’un logarithme)

Pour tout x strictement positif, déterminer la dérivée seconde de la fonction suivante :

exemple

Éléments de correction

Notre petite transformation très pratique nous permet d’écrire :

transformation

On recourt à deux formules de dérivées pour exprimer f’(x). On sait que (eu)’ = u’eu mais pour trouver u’ il faut remarquer que xln x se présente sous une forme (vw)’ = v’w + w’v.

(xln x)’ = 1ln x + x(1 / x) = ln x + 1

Donc, u’ = ln x + 1 et ainsi f’(x) = (ln x + 1) exp(x ln x), donc f’(x) = (ln x + 1)xx

Dérivons ce beau résultat pour obtenir la dérivée seconde.

dérivée seconde

En factorisant xx, alias exp(xln x), il s’ensuit que :

après simplification

NB : le calcul de la limite en 0 de cette fonction figure en page exercices sur limites avec exponentielles.

 

horizon

 

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