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(et fondements mathématiques)

Les limites de la fonction exponentielle

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Démonstrations de limites avec fonction exp

Déterminons les limites à l’infini de la fonction exponentielle. Deux démonstrations sont d'ailleurs exigibles au programme de terminale S.

Limites de la fonction exponentielle

1- Les deux limites à connaître sont les suivantes :

2 limites

Pour démontrer la première, il faut d’abord prouver que, pour tout x réel, ex > x. C’est-à-dire que si nous définissons une fonction f par f(x) = ex – x elle doit être positive. Étudions-la.

Cette fonction est dérivable puisqu’elle est la somme de deux fonctions dérivables.

Sa dérivée a pour expression f’(x) = ex – 1.

Pour quelle(s) valeur(s) f admet-elle un ou des extremum(s) ?

f’(x) = 0
ex – 1 = 0
 e= 1
 x = 0

Nous savons que pour tout x < 0, ex < 1 et pour tout x > 0, ex > 1 (voir page exponentielle).

Donc pour tout x < 0, f’(x) < 0 et pour tout x > 0, f’(x) > 0.

Nous en déduisons que f est strictement décroissante sur ]- ; 0[ et strictement croissante sur ]0 ; +[.

Elle admet donc un minimum en x = 0 et celui-ci est égal à 1.

Conclusion : f est strictement positive. Donc quel que soit x,ex > x.

Par définition, la limite de x en + est +. Donc, forcément, la limite de ex en + est + (limite par comparaison).

2- Il est moins immédiat de déterminer la limite de ex en - mais l’opération n’a rien d’insurmontable. Il faut juste procéder à un tour de passe-passe.

réécriture

Procédons à un changement de variable. Soit X = -x. Nous cherchons donc une limite en +.

changement de variable

Il est immédiat que cette limite est nulle (limite d’une fonction composée). La limite de la fonction exponentielle en - est égale à 0+.

Exploitation des résultats précédents (non exigibles au programme)

1- Démontrons la limite suivante :

exp(x)/x en +inf

Il existe plusieurs voies pour procéder à la démonstration ; celle qui suit est peut-être différente de ce que vous avez pu voir par ailleurs.

Soit la fonction f définie sur R par :

exp(x)-(x²/2)

Sa dérivée a pour expression f’(x) = ex – x

Nous avons vu que pour tout x nous avons ex > x. Donc cette dérivée est positive. Il s’ensuit que f est croissante sur R.

Il apparaît en outre que f(0) = 1. Ainsi, pour tout x strictement positif (rappelons que nous cherchons une limite en +), la fonction est positive. On peut donc en déduire l’inégalité suivante :

inégalité (1)

inégalité (2)

Or il est évident que…

lim de x/2

Par comparaison de limites, nous avons démontré notre proposition initiale.

2- Démontrons à présent la limite suivante :

lim -inf de x exp(x)

L’idée est d’utiliser la limite démontrée précédemment en réutilisant le changement de variable.

Transformons l’expression xex en -(-x)e-(-x).

Écrit autrement, nous cherchons la limite suivante :

limite

Bon, nous avons tout compliqué. Le changement de variable où X = -x se traduit par l’expression suivante :

avec X

Nous nous approchons à grands pas de la limite de l'expression vue précédemment puisque nous sommes en présence de l’opposée de son inverse. Réécrivons.

réécriture

Et là tout s’éclaire. En effet, nous avons vu qu’à plus l’infini le dénominateur tendait vers plus l’infini.

Donc, par composition…

limite = 0

CQFD.

 

 

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