Le produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Un produit scalaire est une opération très abstraite, peu intuitive. Enseignée dès la classe de première S, elle constitue pourtant une introduction aux mécanismes du produit matriciel, fondement de techniques plus élaborées et très opérationnelles (citons par exemple dans le domaine des statistiques, les analyses factorielles ou la régression multiple...). Pourquoi cette notion de produit scalaire est-elle si importante ? Pour la bonne raison que c'est elle qui définit la distance euclidienne. Les implications sont considérables. C'est dire si le sujet est sérieux.

Les bienfaits du produit scalaire dans un espace à trois dimensions sont quant à eux enseignés en classe de terminale S. C'est le chaînon qui relie le produit scalaire dans le plan à la multiplication de matrices. En effet, dès lors que l'espace vectoriel sur lequel on travaille dépasse les trois dimensions, le produit scalaire revient à multiplier une matrice ligne avec une matrice colonne. Mais n'anticipons pas.

Géométrie euclidienne

Situons-nous dans un espace en 3D. Les propriétés du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan s'appliquent ici aussi puisque deux vecteurs sont coplanaires (voir la page d'exercices sur le produit scalaire dans l'espace). Comme dans un plan, le produit scalaire se calcule soit par la formule du cosinus, soit par la formule des distances, soit par les coordonnées. Ses propriétés sont également les mêmes (commutativité, associativité, distributivité).

Rappel de la formule avec cosinus :

Rappel d'une formule avec distances :

Enfin, le calcul est particulièrement simple lorsqu'on dispose des coordonnées de deux vecteurs, soit respectivement (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z'). Nous obtenons : u.v = xx' + yy' + zz'.

En pratique, c'est souvent en recherchant une orthogonalité que vous utilisez les propriétés du produit scalaire. Subtilité de langage, alors qu'une droite est orthogonale à un plan, un vecteur lui est NORMAL. Voyons ceci.

Le projeté P d’un point A sur un plan est l’intersection de ce plan avec la droite qui lui est perpendiculaire et qui contient A. En termes moins matheux, P est le point du plan qui se trouve le plus près de A. La distance entre ces deux points (sur un plan comme sur une droite) est égale à la valeur absolue du produit scalaire entre d'une part le vecteur normal et d'autre part la distance entre A et n’importe quel point de la droite (ou du plan), divisé par la norme :

projeté

Digression hors programme du secondaire : quiconque a étudié la régression linéaire multiple peut très bien percevoir les implications pratiques de l'orthogonalité. S'il existe deux variables explicatives au lieu d'une, le nuage de points représentatif des observations est en trois dimensions. Il ne sera pas résumé par une droite mais par un plan. Habituellement, on considère que la position du plan qui résume au mieux le nuage est celui qui minimise les distances (ou plutôt leurs carrés) entre les observations et leurs projetés. Le produit scalaire est donc bien au cœur de techniques statistiques.

Géométrie analytique

En classe de première, on étudie le produit scalaire dans un plan repéré (voir page produit scalaire en géométrie analytique). En terminale S, on se situe dans l'espace. Celui-ci peut être muni d'un repère orthonormé.

Pour rechercher une orthogonalité dans un espace à trois dimensions, deux formules sont utilisées.

Premièrement, une équation d’expression ax + by + cz + d = 0 est celle d’un plan dont le vecteur normal a pour coordonnées (a ; b ; c).

Deuxièmement, la distance d’un point A(xA ; yA ; zA) au plan est :

distance

... et ainsi de suite dans un hyperespace où les dimensions pullulent...

Exemple

Prenons un plan dans un espace à trois dimensions, dont l’équation cartésienne est x + 2y – 2z + 7 = 0 et un point A de coordonnées (1 ; 1 ; 2). La distance qui sépare A du plan est de :

exemple de distance

C’est donc la distance qui existe entre ce point et son projeté orthogonal.

Nommons P ce projeté. Où peut-on le trouver ?

Nous avons vu comment déterminer facilement un vecteur normal d’un plan. En l’occurrence, on a ici (1 ; 2 ; -2). Si l’on part du point A (1 ; 1 ; 2), on va suivre la direction de ce vecteur sur une certaine distance pour finir notre course contre le plan. Cette distance k est une « proportion » du vecteur, ce n’est pas la distance d déterminée plus haut. Donc, les coordonnées de P se trouvent en résolvant un petit système :

système

Comme P se situe sur le plan, il suffit de remplacer x, y et z dans l’équation cartésienne du plan :

(1 + k) + 2(1 + 2k) – 2(2 – 2k) + 7 = 0, donc k = -⅔.

On obtient :

système

Ce sont les coordonnées de P. Vérifions à présent que la distance euclidienne est bien égale à d.

vérification

vérification de la distance

Super...

 

voyageur de l'espace