Généralités sur les analyses en axes principaux
L’art de lire dans le marc de café s’appelle la cafédomancie ; l’art de lire dans le plan factoriel s’appelle le data mining. En quoi cela consiste-t-il ?
Analyses factorielles
Avec les classifications, les analyses factorielles (ou en axes principaux) sont des techniques d'analyse de données qui s’accommodent sans problème de milliers voire de millions d’observations. Tels des orpailleurs devant brasser des tonnes de terre pour trouver LA pépite, les data scientists vont utiliser ces techniques pour tamiser les données et extraire la super info… Précisons tout de même que ces techniques ne sont pour la plupart que descriptives. C'est à l'homme ou la femme de métier de trouver l'explication des liaisons.
Le point de départ d'une analyse de données se présente toujours de la même façon : un tableau d'observations. Celui-ci comporte autant de lignes qu'il y a d'individus (ou unités statistiques ; il ne s'agit pas toujours de personnes). En colonnes figurent les valeurs des variables prises par ces unités statistiques. Celles-ci sont souvent quantitatives, auquel cas le tableau comprend autant de colonnes qu'il existe de variables observées. C'est un peu plus compliqué lorsque les critères sont qualitatifs.
Les analyses factorielles permettent de détecter des proximités entre variables, entre individus et entre variables × individus, mettant à jour des liens ou au contraire des « répulsions ». Pour une analyse de marché, par exemple, elles assurent l’identification des segments de clientèle à partir de variables mesurées (code PCS, types de commerce habituellement utilisés, revenu, catégorie de logement…). Le segment apparaît alors comme une dimension supplémentaire, cachée au départ mais qui sera le critère grâce auquel le produit pourra être positionné. Les analyses factorielles conduisent aussi à identifier facilement des valeurs aberrantes, qu'il est alors possible d'éliminer pour reconduire l'analyse. Enfin, elles permettent de hiérarchiser l'importance de critères éventuellement explicatifs.
L'analyse des données apparaît donc comme une forme très élaborée de la statistique descriptive. Comme l'écrit Ludovic Lebart dans l'introduction de l'un des manuels qui font autorité en la matière, « le passage au multidimensionnel induit un changement qualitatif important. On ne dit pas en effet que des microscopes ou des appareils radiographiques sont des instruments de description, mais bien des instruments d'observation ou d'exploration, et aussi des outils de recherche », in Statistique exploratoire multidimensionnelle, L. Lebart, M. Piron, A. Morineau, Dunod 2006. Si certaines techniques permettent l'exploration, d'autres impliquent la confirmation d'une régle préétablie (analyse discriminante décisionnelle).
Derrière tout cela, il y a bien sûr des mathématiques et en particulier de l'algèbre linéaire... Le passage aux maths s'effectue dès qu'un tableau est assimilable à une matrice.
Visuellement, les \(k\) variables peuvent être représentés par un nuage de points dans un espace vectoriel de dimension \(n\) et réciproquement, les \(n\) individus prennent la forme de points dans l'espace des variables. Bien sûr, au-delà de trois dimensions, une représentation graphique unique devient impossible et il faut ruser. L'intérêt de l'opération est de visualiser des proximités. Supposons qu'une enquête a été conduite dans une entreprise. On s'intéresse à l'espace des salariés. Parmi les points représentatif des variables, on s'aperçoit que le point « âge » est très proche du point « ancienneté ». Donc, l'entreprise recrute à peu près toujours au même âge et il n'était peut-être pas utile de retenir ces deux critères dans l'analyse.
Les unités statistiques, comme les variables, se situent dans le même espace que celui de départ (endomorphisme) mais on connaît leurs coordonnées sur de nouveaux axes, orthogonaux entre eux et triés selon leur capacité à maximiser l’inertie qui est projetée sur eux. Pour dire les choses moins techniquement, l’analyse factorielle doit mettre en évidence une grandeur synthétique abstraite qui différencie au mieux les individus (ou les variables) entre eux, puis ce qui les différencie dans une moindre mesure et ainsi de suite par ordre décroissant d’importance. À ces grandeurs il est plus ou moins facile d'associer une notion. Surtout, ces grandeurs abstraites sont totalement indépendantes les unes des autres.
Comment réussir un tel prodige ? Pour chaque type d’analyse, une métrique est définie pour mesurer la distance des points entre eux et par rapport à un axe. Ces métriques diffèrent selon le type de variable analysée (quantitative ou qualitative) et sont indiquées dans le tableau en bas de page.
Contrairement aux dimensions initiales, les nouvelles dimensions sont par construction totalement décorrélées entre elles. Elles sont des combinaisons linéaires des caractères d’origine et leurs équations font donc intervenir des facteurs \(a_i.\)
Attention, on ne confond pas une analyse factorielle avec une régression multiple ! Il n’y a ni variables explicatives ni variable à expliquer… Même régime pour tous !
Interprétation des axes
Un bibliothécaire souhaite déterminer le profil des lecteurs. Qu'ils le veuillent ou non, ceux-ci prendront la forme de vecteurs dans un espace à \(k\) dimensions. Admettons que, parmi la dimension « sujet de l’ouvrage », on retienne (entre autres) les quatre modalités jardinage, bricolage, sport et guides de voyage. S’il existe une séparation entre les lecteurs des deux premières catégories et les deux autres, la réduction de dimensionnalité se traduit par un axe sur lequel (ou autour duquel, dans un plan factoriel) se situent d’un côté les jardiniers et les bricoleurs et de l’autre côté les sportifs et les voyageurs. L’interprétation de cet axe factoriel est assez facile : on peut l’appeler « type de loisir » et il sépare les lecteurs ayant des loisirs à domicile de ceux qui préfèrent sortir. Bien sûr, cet axe ne sera pas très discriminant si de nombreux lecteurs s’adonnent à différents types de loisirs…
La force des axes factoriels est donc que non seulement ils détectent les critères qualitatifs pouvant expliquer une diversité, mais ils les quantifient. En un mot, ils font la part des choses (voir les sorties de logiciels sur une AFC).
Pour l'interprétation, on retient le critère de contribution à l'inertie de l'axe et le cosinus carré. Voir l'interprétation des axes et des points.
En pratique
Aujourd'hui, les analyses factorielles sont moins utilisées comme méthodes vedettes qu'il y a trente ans, en raison de l'essor du machine learning. En revanche, elles restent utiles dès qu'il s'agit de comprendre, résumer ou explorer des données multidimensionnelles. Dans les grandes entreprises et les organismes publics, elles sont souvent utilisées en amont d'autres analyses : classification (voir l'ACM), régression multiple, clustering, scoring...
- Le marketing est le domaine qui utilise le plus les analyses factorielles (segmentation de clientèle, analyse d'image de marque, positionnement concurrentiel, perception de produits, réduction de centaines de questions d'enquêtes de satisfaction...). Il s'appuie sur des cartes conceptuelles issues d'analyses factorielles pour cibler une clientèle et positionner leurs produits.
- Les ressouces humaines sont un autre cadre d'utilisation de données (identification de profils de carrières, préparation d'une classification des salariés...). En page de statistiques sur les effectifs, vous trouverez des exemples d'analyses factorielles adaptées à la problématique des départs.
- En finance et gestion du risque, les réductions de dimension sont utilisées pour résumer des centaines d'indicateurs macroéconomiques, pour analyser des corrélations entre actifs, pour construire des facteurs de risque... En finance quantitative, on les utilise pour analyser des courbes de taux, les marchés obligataires ou encore les portefeuilles.
- En santé publique, des organismes utilisent fréquemment ce type d'analyse (enquêtes de santé, qualité de vie, habitudes alimentaires, consommation de soins, épidémiologie...).
- Les instituts nationaux de statistiques s'appuient sur les analyses factorielles (recensements, enquêtes auprès des ménages, condition de vie, emploi, logement, mobilité...).
- En aménagement du territoire, on cherche à faire apparaître des profils territoriaux.
- Dans l'industrie, on résume des centaines de mesures issues de capteurs, on contrôle la qualité, on détecte des anomalies, on comprend des relations entre paramètres de fabrication...
- En sciences sociales, les analyses factorielles sont souvent utilisées. D'ailleurs, leur enseignement fait partie des cursus universitaires (sociologie, psychologie...).
Autrefois, les analyses factorielles constituaient souvent l'analyse finale. Aujourd'hui, elles jouent davantage un rôle de préparation des données.
Différentes analyses factorielles
Les analyses factorielles sont parfois regroupées sous le vocable d'analyse générale. Les plus courantes sont l'analyse en composantes principales (ACP) sur les individus, l'ACP sur les variables, l'analyse factorielle des correspondances (AFC), l'analyse en composantes multiples (ACM), l'analyse factorielle discriminante linéaire...
