Vecteur normal et projeté orthogonal
Le scénario retracerait l’aventure d’un vecteur normal à un plan. La scène se situerait dans un espace. Elle pourrait être celle d’une flèche qui traverse une feuille et l’intrigue tournerait autour de troublantes questions : comment la feuille est-elle inclinée, où l’impact a-t-il lieu, quelle distance a parcouru la flèche, etc. Et ce serait à vous d’enquêter.
Note : nous supposerons que vous n'avez pas encore étudié les équations cartésiennes de plans.
Définitions et propriétés
Un vecteur non nul \(\overrightarrow u \) est normal à un plan \(\mathscr{P}\) s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \(\mathscr{P}\) (donc d’une base de \(\mathscr{P}\)).
Il est donc orthogonal à tout vecteur de la direction de \(\mathscr{P}.\)
Autrement dit, \(\overrightarrow u \) est normal à \(\mathscr{P}\) si c’est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à \(\mathscr {P}.\)
A contrario, on peut définir un plan à l’aide d’un produit scalaire : L’unique plan qui passe par le point \(H\) et de vecteur normal \(\overrightarrow u \) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow {HM} . \overrightarrow u = 0.\)
Projeté orthogonal
Retrouvons une notion que vous connaissez depuis la seconde : le projeté orthogonal.
Le projeté \(H\) d’un point \(A\) sur une droite de l’espace \((d)\) ou un plan \(\mathscr{P}\) est l’intersection de \((d)\) ou de \(\mathscr{P}\) avec la droite qui lui est orthogonale et qui contient \(A.\)
Si \(A\) appartient à \((d)\) ou à \(\mathscr{P}\) il est confondu avec \(H.\)
Ainsi, \(H\) est le point de \((d)\) ou de \(\mathscr{P}\) qui se trouve le plus près de \(A.\) La distance entre ces deux points est égale à la valeur absolue du produit scalaire entre un vecteur normal et la distance entre \(A\) et son projeté \(H,\) rapporté à la norme du vecteur normal :
\(d(M, \mathscr{P}) = \frac{|\overrightarrow {HM}.\overrightarrow {u}|}{\|\overrightarrow {u}\|}\)
Démonstration (projeté sur un plan)
Démontrons que le projeté orthogonal \(H\) d’un point \(A\) sur un plan \(\mathscr{P}\) est le point de \(\mathscr{P}\) le plus proche de \(A.\)
Premier cas : \(A ∈ \mathscr{P}.\) Il est donc confondu avec \(H.\) Par conséquent \(AH = 0.\) Soit un point \(B\) de \(\mathscr{P}\) distinct de \(A.\) Nous avons donc \(AB > 0\) donc \(AB > AH.\)
Second cas : \(A \notin \mathscr{P}.\) Soit un point \(B\) de \(\mathscr{P}\) distinct de \(A.\) Nous avons vu qu’un vecteur orthogonal à un plan est orthogonal à tout vecteur de la direction de ce plan. Donc \(\overrightarrow {AH}\) est orthogonal à \(\overrightarrow {BH}.\) Les points \(A,\) \(B\) et \(H\) forment dans l’espace un triangle rectangle en \(H.\) Comme \([AB]\) est l’hypoténuse, \(AB > AH.\)
Plan médiateur
Soit deux points de l’espace \(A\) et \(B.\) Le plan médiateur de \([AB]\) est l’ensemble des points situés à égale distance de \(A\) et de \(B.\)
Il passe donc par le milieu du segment \([AB]\) et il a \(\overrightarrow {AB}\) pour vecteur normal.
Sphère et plan
Note : dans le programme de terminale, cette section est facultative.
Soit une sphère de centre \(O\) et de rayon \(r.\)
Cette fois-ci, \(H\) est le projeté orthogonal de \(O\) sur le plan \(\mathscr{P}.\)
Celui-ci est tangent à la sphère si \(OH = r.\) Évidemment, si \(OH > r,\) la sphère et \(\mathscr{P}\) n’ont aucun point commun.
En revanche, si \(OH > r,\) le plan est sécant à la sphère. Les points communs forment un cercle de centre \(H\) et de rayon \(\sqrt{r^2 - (OH)^2}.\) Il est facile de le démontrer avec le théorème de Pythagore.
Exercice 1
Soit trois points de l’espace : \(A(5\, ;2\, ;-2),\) \(B(1\, ;2\, ;0)\) et \(C(8\, ;3\, ;-6).\)
1- Montrer que \(A,\) \(B\) et \(C\) définissent un plan \(\mathscr{P}.\)
2- Le vecteur \(\overrightarrow {u} (1\, ;5\, ;2)\) est-il normal à \(\mathscr{P}\) ?
Corrigé 1
1- Déterminons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {AC}.\)
\(\overrightarrow {AB} (-4\, ;0\, ;2)\) et \(\overrightarrow {AC} (3\, ;1\, ;-4).\)
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? Non, leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Par conséquent ces points ne sont pas alignés. Ils forment une base et donc définissent un plan.
2- Le vecteur \(\overrightarrow {u}\) est-il normal au plan \(\mathscr{P}\) défini par \(A,\) \(B\) et \(C\) ?
Procédons au produit scalaire (technique décrite en page de produit scalaire en espace repéré).
\(\overrightarrow {u} . \overrightarrow {AB}\) \(=\) \(1 × (-4) + 5 × 0 + 2 × 2\) \(=\) \(0\)
\(\overrightarrow {u} . \overrightarrow {AC}\) \(=\) \(1 × 3 + 5 × 1 + 2 × (-4)\) \(=\) \(0\)
Conclusion : \(\overrightarrow {u}\) est normal à \(\mathscr{P}.\)
Il faut bien penser à calculer les deux produits scalaires et non un seul. Vous pouvez éventuellement vérifier le résultat en utilisant un troisième vecteur du plan, \(\overrightarrow {BC}.\)
\(\overrightarrow {u} . \overrightarrow {BC}\) \(=\) \(1 × 7 + 5 × 1 + 2 × (-6)\) \(=\) \(0\)
Exercice 2
Soit un espace muni d’un repère orthonormé, un point \(A (3\, ;1\, ;-7)\) et un plan \(\mathscr{P}\) de vecteur normal \(\overrightarrow {v}(4\, ;-2\, ;6).\)
Soit le point \(H\) appartenant à \(\mathscr{P}\) de coordonnées \(H(5,\ ;0\, ;-1).\)
1- vérifier que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathscr{P}.\)
2- Calculer la distance entre \(A\) et \(\mathscr{P}.\)
Corrigé 2
1- \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) si le vecteur \(\overrightarrow {AH}\) est colinéaire à \(\overrightarrow {v}(5\, ;4\, ;-2).\)
\(\overrightarrow {AH} (2\, ;-1\, ;3).\)
Nous remarquons que \(\overrightarrow {v} = 2 \overrightarrow {AH}\)
Donc \(\overrightarrow {AH}\) est un vecteur normal à \(\mathscr{P}.\) Comme \(H\) appartient à \(\mathscr{P},\) il est bien le projeté orthogonal de \(A.\)
2- La distance entre \(A\) et \(\mathscr{P}\) est la distance entre \(A\) et son projeté \(H.\)
\(AH = \|\overrightarrow {AH}\|\) \(= \sqrt{2^2 + (-1)^2 +3^2} = \sqrt{14}\)
La distance entre \(A\) et \(\mathscr{P}\) s’établit à \(\sqrt{14}.\)
