Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le produit scalaire dans un plan repéré

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Produit scalaire et géométrie analytique

En classe de seconde, on présente les vecteurs indépendamment de tout repère mais on les étudie aussi dans un plan repéré. En première S, on consolide l’édifice en abordant les produits scalaires. Eux aussi sont présentés dans le cadre de la géométrie pure et dans celui de la géométrie analytique (repérée). Cette page présente le B.A-BA du produit scalaire en géométrie analytique.

Principe

Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j), le produit scalaire de deux vecteurs dont les coordonnées sont (x ; y) et (x’ ; y’) est égal à xx’ + yy’. Il s’exprime en fonction des vecteurs i et j.

Exemple

Soit A, B et C les points de coordonnées respectives (2 ; 3), (-1 ; 2) et (-3 ; -1).

solution

Exercice 1

Calculer le produit scalaire AB.AC. Réaliser une figure avec GeoGebra puis vérifier le résultat avec ce logiciel.

AB.AC

Exercice 2

Soit les vecteurs u(-m – 1 ; -m) et v(2 ; -m – 3). Trouver m tel que le produit scalaire u.v soit nul.

Corrigé 1

vecteurs

Il s’ensuit que :

produit scalaire

Vérifions-le avec GeoGebra. On clique d’abord sur « option » puis sur « arrondi » et on retient quatre décimales (si l’on n’en prend que deux, les arrondis ne permettront pas de retrouver le bon résultat !). Puis on saisit les quatre points. Nommons les vecteurs u et v.

écran 1

Multiplions u par v.

écran 2

GeoGebra a nommé a le produit scalaire. Il est bien égal à 1 :

écran 3

Corrigé 2

Posons 2(-m – 1) + (-m)(-m – 3) = 0

-2m – 2 +  + 3m = 0
 + m – 2 = 0

Calculons le discriminant. Δ = 1² – 4(1 × -2) = 9

L’équation admet deux solutions, m1 = (-1 – 3) / 2 = -2 et m2 = (-1 + 3) / 2 = 1

S = {-2 ; 1}

Un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont orthogonaux. Remplaçons les deux valeurs de m dans u et v. Ceci nous permet de conclure que les vecteurs (1 ; 2) et (2 ; -1) sont orthogonaux ainsi que les vecteurs (-2 ; -1) et (2 ; -4).

Mais encore...

Voir aussi les exercices des pages produit scalaire et orthogonalité, exercices sur l'orthogonalité dans le plan et produit scalaire et mesures d'angles.

 

multiplication de vecteurs

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés