Le repérage dans l'espace avec vecteurs

Géométrie analytique en 3D

Le repérage dans un espace défini par des vecteurs est au programme de terminale S. Théoriquement, aucune difficulté. L’espace a déjà été introduit au collège (voir la page repérage dans l’espace) et il suffit d’y transposer ce qui a été vu en classe de seconde en matière de géométrie analytique dans le plan.

Repérage

Trois vecteurs non coplanaires i, j et k définissent une base. Cette base et un point fixe O permettent de définir un espace muni d’un repère…

(O;i;j;k)

Si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux et s’ils ont la même norme, le repère est orthonormé.

Les coordonnées d’un point M de l’espace sont le triplet (x ; y ; z) tel que :

OM=xi+yj+zk

x est l’abscisse, y est l’ordonnée et z est la cote.

Milieu

Soit M le milieu du segment [AB].

milieu

C’est assez évident.

Exemple. On considère les points A(2 ; 1 ; 2) et B(-4 ; 1 ; 1). Les coordonnées de M, milieu de [AB] sont :

M(-1;1;1,5)

Voir l'exercice de géométrie au bac S.

Distance

Dans un repère orthonormé, la longueur du segment [AB] mesure :

AB

Exemple. On considère les points A(2 ; 1 ; 2) et B(-4 ; 1 ; 1). Quelle est la longueur AB ?

AB = racine 37

Norme

La norme du vecteur u est :

norme u

Coordonnées d’un vecteur

Soit les points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB). Le vecteur AB a pour coordonnées :

coordonnées

Là encore, rien de bien nouveau depuis la seconde…

Exemple. On considère encore nos points A(2 ; 1 ; 2) et B(-4 ; 1 ; 1).

AB(6;0;-1)

Colinéarité

Comme vous le savez, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Soit deux vecteurs :

u(x;y;z) et v(x';y';z')

S’ils sont proportionnels, alors il existe un réel k tel que kx = x’, kyy’ et kz = z’.

Alignement

Après la colinéarité vient toujours l’alignement ! Donc, ici également, rien de changé depuis la seconde. Pour montrer que trois points A, B et C sont alignés, on montre que les vecteurs AB et AC sont colinéaires (ou AB et BC…).

Exemple. On considère les points A(2 ; 1 ; 2), B(-4 ; 1 ; 1) et C(-4 ; 1 ; 3). Sont-ils alignés ?

Nous avons :

AB(-6;0;-1) et AC(-6;0;1)

Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Les points A, B et C ne sont pas alignés.

Autre exemple. On considère les points D(3 ; -1 ; 2), E(6 ; 2 ; 6) et F(12 ; 8 ; 14).

DE(3;3;4) et EF(6;6;8)

On remarque que :

3/6 = 3/6 = 4/8 = 0,5

Les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Les points D, E et F sont alignés.