Le repérage dans l'espace avec vecteurs

Géométrie analytique en 3D

Le repérage dans un espace défini par des vecteurs est au programme de terminale générale spécialité maths. Théoriquement, aucune difficulté. L’espace a déjà été introduit au collège (voir la page sur le repérage dans l’espace). Il suffit d’y transposer ce qui a été vu en classe de seconde en matière de géométrie analytique dans le plan.

Repérage

Trois vecteurs non coplanaires $\overrightarrow i ,\overrightarrow j$ et $\overrightarrow k$ définissent une base. Cette base et un point fixe $O$ permettent de définir un espace muni d’un repère $(O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).$

Si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux et s’ils ont la même norme, le repère est orthonormé.

Les coordonnées d’un point $M$ de l’espace sont le triplet $(x\,;y\,;z)$ tel que :

$\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k$

$x$ est l’abscisse, $y$ est l’ordonnée et $z$ est la cote (faute d'orthographe fréquente, ne pas confondre avec la côte !).

Milieu

Soit $M$ le milieu du segment $[AB].$

${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},$ ${y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},$ et ${z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2},$

C’est assez évident.

Exemple. On considère les points $A(2\,; 1\,; 2)$ et $B(-4\,; 1\,; 1).$ Les coordonnées de $M,$ milieu de $[AB]$ sont :

$M\left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2}\,;\frac{{1 + 1}}{2}\,;\frac{{2 + 1}}{2}} \right)$ $= M\left( { - 1\,;1\,;\frac{3}{2}} \right)$

Voir l'exercice de géométrie au bac.

Distance

Dans espace muni d'un repère orthonormé, la longueur du segment $[AB]$ mesure :

$AB =$$\sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_B}} \right)}^2}}$

Exemple. On considère les points $A(2\,; 1\,; 2)$ et $B(-4\,; 1\,; 1).$ Quelle est la longueur $AB$ ?

$AB =$ $\sqrt {{{\left( {2 - ( - 4)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}$ $= \sqrt {37}$

Norme

La norme du vecteur $\overrightarrow u$ est :

$\| {\overrightarrow u } \| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$ (très rapidement démontré en page de produit scalaire dans l'espace repéré)

Coordonnées d’un vecteur

Soit les points $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B).$ Le vecteur$\overrightarrow {AB}$ a pour coordonnées :

$\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} - {x_A}}\\ {{y_B} - {y_A}}\\ {{z_B} - {z_A}} \end{array}} \right)$

Là encore, rien de bien nouveau depuis la seconde…

Exemple. On considère encore nos points $A(2\,; 1\,; 2)$ et $B(-4\,; 1\,; 1).$

$\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - 2}\\ {1 - 1}\\ {1 - 2} \end{array}} \right)$ $= \overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ { - 1} \end{array}} \right)$

Colinéarité

Comme vous le savez, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Soit deux vecteurs $\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)$ et $\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x'\\ y'\\ z' \end{array}} \right)$

S’ils sont proportionnels, alors il existe un réel $k$ tel que $kx = x’,$ $ky = y’$ et $kz = z’.$

Alignement

Après la colinéarité vient toujours l’alignement ! Donc, ici également, rien de changé depuis la seconde. Pour montrer que trois points $A,$ $B$ et $C$ sont alignés, on montre que les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont colinéaires (ou $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {BC}...$).

Exemple. On considère les points $A(2\,; 1\,; 2),$ $B(-4\,; 1\,; 1)$ et $C(-4\,; 1\,;3).$ Sont-ils alignés ?

Nous obtenons $\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ { - 1} \end{array}} \right)$ et $\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right).$

Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Les points $A,$ $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Autre exemple. On considère les points $D(3\,;-1\,;2),$ $E(6\,;2\,;6)$ et $F(12\,;8\,;14).$

$\overrightarrow {DE} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 3\\ 4 \end{array}} \right)$ et $\overrightarrow {EF} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ 8 \end{array}} \right)$

On remarque que $\frac{3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$

Les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Les points $D,$ $E$ et $F$ sont alignés.

Voir la page d'exercices sur les configurations dans l'espace.