Des exercices sur les équations cartésiennes de plans

Équations cartésiennes de plans (terminale S)

Sur cette page vous trouverez quelques exercices plutôt faciles de niveau terminale S sur les équations cartésiennes de plans dans l'espace. Puis leurs corrigés, bien sûr. Dans le premier exercice, nous connaissons un point et un vecteur normal. Dans le second, nous connaissons trois points. Le troisième est extrait d’une épreuve du bac S. Vous aurez ainsi un minimum d’entraînement.

Exercice 1

Soit un espace muni d’un repère orthonormé. Déterminer une équation cartésienne du plan (P) dans ce repère sachant qu'il contient le point A(2 ; 5 ; -1) et qu’il a pour vecteur normal :

u(1;2;3)

Exercice 2

Soit un espace muni d’un repère orthonormé. Soit les points A(2 ; -1 ; 1), B(-1 ; 0 ; 3) et C(-1 ; 1 ; 4). Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Exercice 3

Cet exercice est un extrait d’épreuve de bac S, plus précisément de deux questions d'un exercice dont la suite est traitée en page problème de géométrie avec produit scalaire dans l’espace.

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous. Ses arêtes sont de longueur 1.

cube

  1. Montrer que le vecteur DF est normal au plan (EBG).

  2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

Corrigé 1

On sait que si un vecteur de coordonnées (a ; b ; c) est colinéaire à un plan, ce dernier a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.

Donc (P) a pour équation x + 2y + 3z + d = 0

Pour déterminer d, on applique l’équation au point A.

2 + 2 × 5 + 3 × (-1) + d = 0

D’où d = -9.

Corrigé 2

Une étape préalable consiste à vérifier que les points ne sont pas alignés et donc qu’ils définissent un plan.

vecteurs AB et AC

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Ils définissent bien un plan.

La première étape est la détermination d’un vecteur normal au plan (ABC).

u.AB = -3a+b+2c

u . AC = -3a+2b+3c

Ces deux produits scalaires doivent être nuls.

système

Ensuite on remplace une inconnue par une valeur (n’importe laquelle mais évitez 0 pour ne pas obtenir le vecteur nul). Soit a = 1, par exemple.

b+2c = 3 et 2b+3c = 3

Résolution facile d’un système de deux équations à deux inconnues.

Les solutions sont b = -3 et c = 3.

Par conséquent, un vecteur normal au plan (ABC) est :

u(1;-3;3)

La dernière étape consiste à reproduire le processus de l’exercice 1.

Le plan (ABC) a pour équation x – 3y + 3z + d = 0

Il passe par A(2 ; -1 ; 1). Donc 2 + 3 + 3 + d = 0 et d = 8.

Vérifions. Il passe par B(-1 ; 0 ; 3). Donc -1 + 9 + d = 0 d’où d = 8.

Pour être encore plus certain que certain : il passe par C(-1 ; 1 ; 4), d’où -1 – 3 + 12 + d = 0. Il est définitivement admis que d = 8.

Une équation de (ABC) est donc x – 3y + 3z + 8 = 0.

Corrigé 3

1. Nous connaissons les coordonnées suivantes : D(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 0), G(0 ; 1 ; 1), E(1 ; 0 ; 1) et F((1 ; 1 ; 1).

Nous obtenons ainsi les vecteurs suivants :

EB(0;1;-1) EG(-1;1;0) DF(1;1;1)

Vérifions l’orthogonalité de ce vecteur avec deux vecteurs non colinéaires du plan (EBG).

produits scalaires nuls

Le vecteur DF est bien orthogonal au plan (EFG).

2. La seconde question est rapide à traiter. Une équation de (EBG) est 1 × x + 1 × y + 1 × z + d = 0. Bien sûr, vous avez écrit directement x + y + z + d = 0. Nous cherchons d grâce à l’un des trois points identifiés du plan. Par exemple E.

1 + 0 + 1 + d = 0. Donc d = -2. C’est aussi simple que ça.

Une équation cartésienne du plan (EBG) est x + y + z – 2 = 0.