Vecteurs et relation de Chasles
Le niveau de difficulté de cette page est celui d’une classe de seconde. Après un rappel de cours sur les opérations sur les vecteurs, vous trouverez une méthode pour résoudre un exercice sur la relation de Chasles. Deux exercices vous permettrons de vous entraîner.
Rappels de cours
L’image du point \(A\) par le vecteur \(\overrightarrow u\) est le point \(B\) et l’image de \(B\) par \(\overrightarrow v\) est le point \(C.\)
Le vecteur \(\overrightarrow u + \overrightarrow u\) est le vecteur associé à la translation de vecteur \(\overrightarrow {AC}.\) Graphiquement, c’est le plus court chemin pour aller de\(A\) à \(C.\)
On peut donc écrire \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow{AC}\)
C’est la relation de Chasles, du nom d’un mathématicien français du dix-neuvième siècle. Cette relation ne s’applique pas qu’aux vecteurs mais nous ne verrons pas d’autres applications ici.
Un vecteur \(\overrightarrow u\) à un opposé \(-\overrightarrow u.\) Si dans un exercice vous trouvez une soustraction (il y en a d’ailleurs dans les exercices ci-dessous) commencez par la remplacer par la somme du vecteur opposé.
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB}\) \(=\) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}\) \(=\) \(\overrightarrow {AC}.\)
Enfin, un vecteur peut être multiplié par un réel. Ainsi \(2 \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB}\)
Méthode
Décortiquons un exercice qui met en pratique ces tours de passe-passe. Simplifions l’écriture suivante :
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AB} +2 \overrightarrow {BC} +2 \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {CA}\)
Le corrigé qui suit n’a qu’une valeur indicative. Sur une expression aussi longue, il y aurait de nombreuses façons d’arriver au même résultat.
Notre première étape consiste à remplacer la soustraction par la somme du vecteur opposé. Facile.
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AB} +2 \overrightarrow {BC} +2 \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC}\)
Nous repérons une somme de deux vecteurs dont l’extrémité de l’un est l’origine de l’autre, un peu comme deux dominos qui ont un côté identique, et que l’on place donc côte à côte.
Ainsi, d’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DC}\)
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AB} +2 \overrightarrow {BC} +2 \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC}\)
Il peut être astucieux de décomposer les deux vecteurs « doubles » pour faciliter les regroupements.
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC}\)
Les deux derniers termes de cette somme sont intéressants : c’est la somme d’un vecteur et de son opposé dont le résultat est le vecteur nul \(\overrightarrow 0.\) Nous pouvons donc les supprimer.
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD}\)
À présent, nous observons que l’on peut à nouveau appliquer la relation de Chasles. En l’occurrence, avec le deuxième terme et le troisième, mais aussi avec le quatrième et le cinquième. Nous arrivons à l'étape suivante :
\(\overrightarrow {DE} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\)
C’est une addition, donc l’ordre n’importe pas. Nous remarquons que l’extrémité du dernier terme est \(D,\) qui est aussi l’origine du premier terme. Réorganisons notre somme pour mieux montrer l'enchaînement.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE}\)
Vous remarquerez que les deux derniers vecteurs ne demandent qu’à être réunis par la relation de Chasles.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE}\)
Cette fois, nous arrêtons de triturer nos pauvres vecteurs. Nous ne pouvons plus rien faire.
Exercices
Exercice 1
Soit \(ABDC\) un parallélogramme. Montrer que :
\(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {0}\)
Exercice 2
Exprimer le vecteur \(\overrightarrow {u}\) en fonction de \(\overrightarrow {AB}\) et de \(\overrightarrow {AC}\)
\(\overrightarrow {u} = 2 \overrightarrow {BC} + 2 \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA}\)
Corrigés
Exercice 1
\(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {0}\)
Transformons le membre de gauche pour faire apparaître des regroupements possibles.
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BA}\)
Regroupons à l’aide de la relation de Chasles.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BA}\)
\(= \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA}\)
Or, nous savons que \(ABDC\) est un parallélogramme et donc que \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB}\)
Par conséquent, \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB}= \overrightarrow {0}\) et nous avons montré l’égalité.
Exercice 2
Cet exercice est un peu différent car il comporte une première étape que nous n’avons pas encore évoquée. Il ne s’agit pas de regrouper mais au contraire de scinder des vecteurs pour en faire apparaître d’autres.
\(\overrightarrow {u} = 2 \overrightarrow {BC} + 2 \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA}\)
Le premier terme ne comporte ni de vecteur \(\overrightarrow {AB}\) ni de vecteur \(\overrightarrow {AC}\) comme le demande l'énoncé. Mais, en utilisant la relation de Chasles, on peut écrire \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}\)
D'où \(\overrightarrow {u} = 2 ( \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} ) + 2 \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA}\)
Nous avons fait apparaître \( \overrightarrow {AC} \) mais \(\overrightarrow {BA}\) et non \(\overrightarrow {AB} \). Pas d'inquiétude, nous sommes sur la bonne piste. Il suffit de soustraire des opposés pour n’obtenir que les vecteurs cherchés.
\(\overrightarrow {u} = 2 ( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) - 2 \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u} = -2 \overrightarrow {AB} + 2 \overrightarrow {AC} - 2 \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u} = -4 \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
Ce type de raisonnement est parfois demandé dans le cadre d’exercices beaucoup plus longs et compliqués !
