Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le produit scalaire et les distances

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Produit scalaire : la formule des normes

C’est en classe de première S que l’on découvre les joies du produit scalaire. Une façon d’aborder ce chapitre est de présenter la formule du cosinus.

Hâtons-nous de la rappeler. Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan :

formule du cosinus

Grâce à elle, il est possible de calculer un produit scalaire si l’on connaît les longueurs des deux vecteurs et l’angle qu’ils forment.

En revanche, si l’angle est inconnu, il faut modifier cette formule pour faire disparaître le cosinus C’est cette deuxième formule qui est présentée sur cette page. Si vous êtes en première S, vous rencontrerez certainement des exercices qui permettent de l’appliquer mais ceux-ci ne sont pas très variés et, par voie de conséquence, pas très nombreux. Son équivalence avec la formule du cosinus permet de démontrer le théorème d'Al Kashi.

Démonstration

En premier lieu, considérons le carré scalaire. Il est évident que le cosinus entre un vecteur et lui-même mesure un angle nul. Il est donc égal à 1. Ainsi…

carré scalaire

Jusque là rien d'anormal (ensuite non plus d'ailleurs). Considérons maintenant l’identité remarquable :

identité remarquable

Par conséquent…

démo

démo

demo

De la même façon, on prouve que…

produit scalaire

Selon les exercices, il faudra choisir entre la formule qui fait apparaître le carré de la différence de vecteurs ou celle qui fait apparaître le carré de leur somme.

Géométrie

Le produit scalaire est une opération peu intuitive car il est mentalement difficile de faire le lien entre la représentation géométrique et le résultat obtenu par calcul. La formule du cosinus et celle du projeté peuvent toutefois être illustrées. Mais celle des normes est vraiment peu géométrique !

distances

illustration

Une vieille connaissance

Et si les deux vecteurs u et v sont orthogonaux ? On sait que leur produit scalaire est égal à zéro puisque leur cosinus est nul. Par conséquent :

demo

Pythagore

On retrouve le théorème de Pythagore !

Exercice 1

Calculer le produit scalaire des deux vecteurs suivants :

exercice 1

NB : la résolution de cet exercice suppose que vous n’ayez pas encore étudié le produit scalaire en géométrie analytique. Le résultat serait trop facile à trouver !

Exercice 2

Soit un triangle ABC.

AB = 4, AC = 7 et BC = 5

Calculer AB.AC

Corrigé 1

Il faut appliquer la formule de la distance vue en classe de seconde.

distance u

distance v

distance u+v

u.v

Corrigé 2

En appliquant la relation de Chasles, nous avons…

relation de Chasles

Il est donc plus pratique d’utiliser la formule qui fait apparaître le carré de la différence de vecteurs.

dernière formule

Ainsi, notre produit scalaire est égal à 20.

 

distances

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés