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(et fondements mathématiques)

Des exercices sur le produit scalaire dans l'espace

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Exercices sur produit scalaire (terminale S)

Sur cette page vous trouverez des exercices simples et progressifs de niveau terminale S sur le produit scalaire dans l’espace. Bande de petits veinards.

Note 1 : désolé si les flèches n’apparaissent pas toujours sur les vecteurs mais le code html ne le permet pas.

Note 2 : si vous avez oublié comment utiliser les propriétés de l’orthogonalité pour résoudre des produits scalaires, revoyez la page produit scalaire  (...dans le plan, donc programme de première S).

Exercice 1 : calculer le produit scalaire u.v avec…

u(4 -1 3) . v(-2 1 5)

Exercice 2 : calculer le produit scalaire u.v avec…

u(-a b a-b) . v(a b a+b)

Exercice 3 : déterminer la ou les valeurs de x pour que le produit scalaire u.v soit nul.

u(x 2x 3) . v(2 -x 4)

Exercice 4 (un grand classique !)

Soit le cube ABCDEFGH suivant, de côté a.

cube

Calculer les produits scalaires suivants :

BA . DH

DC . EF

CA . HD

DC . DG

DB . DE

DB . DF

AF . HE

Corrigé 1

On utilise la formule xx’ + yy’ + zz’.

4 × (-2) + (-1) × 1 + 3 × 5 = -8 – 1 + 15 = 6

Corrigé 2

Il y a de l’identité remarquable dans l’air…

-a × a + b × b + (a – b)(a + b) = - +  +  –  = 0

Corrigé 3

2x – 2 + 12 = 0

Calculons le discriminant.

Δ = 2² – 4 × (-2) × 12 = 100

Δ > 0. L’équation admet deux solutions réelles.

3 et -2

Le produit scalaire est nul si x = -2 ou si x = 3.

Corrigé 4

  • BA . DH = 0

    En effet, ces vecteurs sont orthogonaux.

  • DC . EF = a²

    C’est un simple carré scalaire.

  • CA . HD = 0

    Encore deux vecteurs orthogonaux.

  • DC . DG = a²

    Encore un carré scalaire.

  • Pour calculer le produit scalaire suivant, nous nous plaçons dans le plan (DBE).

    DBE est un triangle équilatéral (chaque côté mesure une diagonale du cube). Donc si l’on fait intervenir un point M, milieu de [DB], alors le vecteur EM est orthogonal au vecteur DB.

    DB . DE = a²

    En effet, rappelons que la diagonale d’un carré est égale au côté multiplié par la racine de 2.

  • Le suivant est plus facile.

    DB . DF = 2a²

  • Au contraire, le dernier est plus difficile à calculer car on ne relève pas immédiatement une orthogonalité. Il faut alors décomposer l’un des vecteurs.

    AF . HE = (AE + EF) . HE

    Développons.

    AE . HE = 0

    Vous en voulez encore ? Voir la page problème avec produit scalaire dans l'espace, extrait d'une épreuve de bac S.

 

 

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