Des exercices sur le produit scalaire dans l'espace

Exercices sur produit scalaire (terminale S)

Sur cette page vous trouverez des exercices simples et progressifs de niveau terminale S sur le produit scalaire dans l’espace. Bande de petits veinards.

Note : si vous avez oublié comment utiliser les propriétés de l’orthogonalité pour résoudre des produits scalaires, revoyez la page produit scalaire  (...dans le plan, donc programme de première S).

 

Exercices

Exercice 1 : calculer le produit scalaire \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) avec \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 1\\ 5 \end{array}} \right)\)

Exercice 2 : calculer le produit scalaire \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) avec \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}\\ b\\ {a - b} \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ {a + b} \end{array}} \right)\)

Exercice 3 : déterminer la ou les valeurs de \(x\) pour que le produit scalaire \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) soit nul avec \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ {2x}\\ 3 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - x}\\ 4 \end{array}} \right)\)

Exercice 4 (un grand classique !)

Soit le cube \(ABCDEFGH\) suivant, de côté \(a.\)

cube

Calculer les produits scalaires suivants :

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DH} \)

\(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {EF} \)

\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {HD} \)

\(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DG} \)

\(\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DE} \)

\(\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DF} \)

\(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {HE} \)

 

Corrigés

Corrigé 1

On utilise la formule \(xx’ + yy’ + zz’.\)

\(4 \times (-2) + (-1) \times 1 + 3 \times 5 = -8 - 1 + 15 = 6\)

Corrigé 2

Il y a de l’identité remarquable dans l’air…

\(-a \times a + b \times b + (a - b)(a + b) = -a^2 + b^2 + a^2 - b^2 = 0\)

Corrigé 3

\(2x - 2x^2 + 12 = 0\)

Calculons le discriminant.

\(\Delta = 2^2 - 4 \times (-2) \times 12 = 100\)

\(\Delta > 0.\) L’équation admet deux solutions réelles.

\({x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {100} }}{{ - 4}} = 3\) et \({x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {100} }}{{ - 4}} = - 2\)

Le produit scalaire est nul si \(x = -2\) ou si \(x = 3.\)

Corrigé 4

  • \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DH} = 0 \)

    En effet, ces vecteurs sont orthogonaux.

  • \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DC} = a^2 \)

    C’est un simple carré scalaire.

  • \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {HD} = 0 \)

    Encore deux vecteurs orthogonaux.

  • \(\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DC} = a^2 \)

    Encore un carré scalaire.

  • Pour calculer le produit scalaire suivant, nous nous plaçons dans le plan \((DBE).\)

    \(DBE\) est un triangle équilatéral (chaque côté mesure une diagonale du cube). Donc si l’on fait intervenir un point \(M\), milieu de \([DB]\), alors le vecteur \(\overrightarrow {EM}\) est orthogonal au vecteur \(\overrightarrow {DB}.\)

    \(\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DE}\) \(= \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DM}\) = \(\left\| {\overrightarrow {DB} } \right\|.\left\| {\overrightarrow {DM} } \right\|\) = \(a\sqrt 2 \times \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\)

    En effet, rappelons que la diagonale d’un carré est égale au côté multiplié par \({\sqrt 2 }.\)

  • Le suivant est plus facile.

    \(\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DF} = DB^2\) \(= a\sqrt 2 \times a\sqrt 2 = 2{a^2}\)

  • Au contraire, le dernier est plus difficile à calculer car on ne relève pas immédiatement une orthogonalité. Il faut alors décomposer l’un des vecteurs.

    \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {HE} = (\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF}). \overrightarrow {HE}.\)

    Développons.

    \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {HE} + \overrightarrow {EF} . \overrightarrow {HE}\) \(= 0 + 0 = 0\)

    Vous en voulez encore ? Voir la page problème avec produit scalaire dans l'espace, extrait d'une épreuve de bac S.