La distance dans l'espace

Distance euclidienne dans l'espace

Cette page a été rédigée à l'attention des élèves de terminale générale, maths de spécialité. Le calcul de distance dans l'espace n'est pas un point central du programme et il est diversement traité dans les manuels.

Nous présentons ci-dessous les connaissances théoriques que vous maîtriserez dans quelques minutes ainsi que le savoir-faire nécessaire, illustré par un exemple.

 

Dans le plan

Rappelons brièvement la formule de la distance entre deux points \(A\) et \(B\) situés dans un plan muni d'un repère orthonormé (émouvant souvenir de seconde).

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

La démonstration est très simple. Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore (voir la page sur la géométrie analytique).

 

Dans l'espace

Si vous savez calculer une distance entre deux points dans le plan, vous savez la calculer dans l'espace (muni, lui aussi, d'un repère orthonormé).

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]

Exemple très simple en page de repérage dans l'espace.

 

Il n'y a pas que des points...

Bon, il faut bien que ça se complique à un moment ou à un autre.

Vous serez être amené à déterminer la distance entre un point et une droite ou entre un point et un plan.

Évidemment, c'est la distance la plus courte qui nous intéresse. On ne vous demande pas de faire le tour du pâté de maisons pour aller du point à la droite. D'ailleurs, vous avez déjà abordé en seconde la notion de projeté orthogonal à une droite dans le plan. Donc vous savez tout ça.

La nouveauté, c'est que nous sommes dans un espace muni d'un repère orthonormé et que pour connaître la distance il faut passer par le produit scalaire.

Connaissant les coordonnées du point et l'équation de la droite ou du plan, on peut soit utiliser une formule, soit déterminer les coordonnées du projeté et ensuite calculer la distance entre le point et son projeté (voir l'exemple ci-dessous).

La formule ne fait pas expressément partie du programme de terminale. Elle peut néanmoins être découverte à la faveur d'un exercice. Nous vous la présentons quand même :

Soit un point \(A\) et \(H\) son projeté sur un plan \(\mathscr{P}\) d'équation \(ax + by + cz + d = 0.\) Soit \(\overrightarrow {u} (a\,; b\,;c)\) (vecteur normal au plan).

\(d(A,\mathscr{P})\) \(= \) \(\frac{|\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}|}{\|\overrightarrow{u}\|}\) \(=\) \(\frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)

En terminale, on vous demandera plutôt de déterminer les coordonnées du projeté orthogonal puis de calculer la distance entre les deux points.

 

Exemple : distance à un plan

Dans cet exemple nous utiliserons les deux techniques. D'abord la formule, puis la méthode de la distance avec le projeté.

Soit un plan \(\mathscr{P}\) dans un espace repéré, dont l’équation cartésienne est \(x + 2y - 2z + 7\) \(= 0\) et un point \(A\) de coordonnées \((1\,;1\,;2).\) La distance qui sépare \(A\) et \(\mathscr{P}\) s'établit à :

\(d = \frac{{\left| {(1 \times 1) + (2 \times 1) + ( - 2 \times 2) + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}\) \(= \frac{6}{{\sqrt 9 }} = 2\)

C’est donc la distance qui existe entre ce point et son projeté orthogonal sur \(\mathscr{P}.\)

La technique est très simple mais ne nous dit rien sur les coordonnées du projeté. Examinons à présent l'autre technique, qui est, rappelons-le, plus habituelle.

Nommons \(H\) ce projeté. Où peut-on le trouver ?

Vous savez comment déterminer facilement un vecteur normal à un plan (même principe que le vecteur normal à une droite, programme de première). En l’occurrence, on a ici \(\overrightarrow v (1\,;2\,; - 2).\) Si l’on part du point \(A(1\,;1\,;2),\) on va suivre la direction de \(\overrightarrow v\) sur une certaine distance pour finir notre course contre le plan. Cette distance \(k\) est une « proportion » du vecteur, ce n’est pas la distance \(d\) déterminée plus haut. Donc, les coordonnées de \(H\) se trouvent en résolvant un petit système :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + k}\\ {y = 1 + 2k}\\ {z = 2 - 2k} \end{array}} \right.\)

Comme \(H\) se situe sur le plan, il suffit de remplacer \(x,\) \(y\) et \(z\) dans l’équation cartésienne du plan pour connaître \(k\), puis les coordonnées de \(H\) :

\((1 + k) + 2(1 + 2k) - 2(2 - 2k) + 7\) \(= 0,\) donc \(k = - \frac{2}{3}\).

On obtient :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{3}}\\ {y = - \frac{1}{3}}\\ {z = \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.\)

Ce sont les coordonnées de \(H.\) Vérifions à présent que la distance euclidienne est bien égale à \(d.\)

\(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{1}{3} - 1; - \frac{1}{3} - 1;\frac{{10}}{3} - 2} \right)\) \(= \left( { - \frac{2}{3}; - \frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

\(d = \sqrt {{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow d = \sqrt {\frac{4}{9} + \frac{{16}}{9} + \frac{{16}}{9}} \)

\( \Leftrightarrow d = \sqrt {\frac{{36}}{9}} = \sqrt 4 = 2\)

Super...

 

Distance à une droite

Il est un peu plus long d'établir la distance d'un point à une droite qu'un point à un plan.

Soit \(A\) ce point et \(H\) son projeté orthogonal sur la droite. Si vous connaissez les coordonnées de \(A\) et l'équation paramétrique de la droite, déterminez l'équation du plan qui contient la droite et qui est orthogonal à \(\overrightarrow{AH}.\) Ensuite, faites comme ci-dessus.