Le produit scalaire dans le plan

Propriétés du produit scalaire

Cette page balaie le chapitre sur le produit scalaire tel qu'il est délimité dans le programme de première S.

 

Présentation

Les vecteurs ont tout loisir de s’additionner et d'être multipliés par des scalaires (voir les pages initiation aux vecteurs et vecteurs et coordonnées, destinées aux élèves de seconde). C’est le principe de la linéarité.

Mais ils ont aussi cette étrange possibilité de se multiplier entre eux, quoiqu'il est un peu abusif de parler de multiplication. Le résultat obtenu est un produit scalaire, qui est un nombre réel.

Celui-ci est égal au produit des normes euclidiennes multiplié par le cosinus de l’angle que forment les deux vecteurs. C'est l'application de la formule du cosinus.

Ainsi, le produit scalaire peut être défini par un angle mais aussi par les distances. C'est la formule des normes, que voici ci-dessous. Nous verrons un peu plus bas une troisième approche.

\[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\] \[ = \frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2}} \right)\]

Notez au passage le point, qui est le symbole mathématique de la multiplication vectorielle (se prononce scalaire).

Si un produit est égal à zéro, c’est que les vecteurs sont orthogonaux puisque, à moins que l’un d’eux n’ait la mauvaise idée d’être nul, ça signifie que le cosinus est égal à zéro (revoir le cercle trigonométrique pour en être convaincu).

Munissons à présent le plan d'un repère orthonormé. Si deux vecteurs ont pour coordonnées \((x\,;y)\) et \((x’\,;y’),\) leur produit scalaire est égal à \(xx’ + yy’.\) Voir la page produit scalaire en géométrie analytique.

Les équivalences entre ces formules permettent de calculer des angles (voir la page produit scalaire et mesures d'angles) ou de démontrer des formules trigonométriques.

 

Carré scalaire

Un vecteur multiplié par lui-même est un carré scalaire. Dans la mesure où le résultat est un réel, il n’y a pas lieu de le placer sous une flèche : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = A{B^2}\)

 

Orthogonalité

Soit \(C’\) et \(D’\) les projetés orthogonaux de \(C\) et \(D\) sur la droite \((AB),\) support du vecteur \(\overrightarrow {AB}.\)

projection

Le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {CD}\) est le suivant : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}\) \(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C'D'}\) \(= \overline {AB} \times \overline {C'D'} \)

C’est la troisième façon de présenter le produit scalaire. On constate encore, sous cette nouvelle forme, que si deux vecteurs sont orthogonaux, c’est que leur produit est nul : le vecteur vert pivote jusqu'à ce que \(C’\) et \(D’\) se confondent et le vecteur \(\overrightarrow {AB}\) est multiplié par zéro...

Un vecteur est normal à une droite s’il lui est orthogonal. Ce terme peut sembler bizarre car les autres vecteurs ne sont pas forcément aberrants, mais norma signifie équerre en latin. Dans un repère orthonormé, les coordonnées du vecteur normal à la droite \((D)\) d’équation cartésienne \(\alpha x + \beta y + \delta = 0\) sont \((\alpha\,;\beta).\) A contrario, deux droites ne sont perpendiculaires que si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

La distance entre un point \(A\) et son projeté sur une droite est égale à la valeur absolue du vecteur normal multiplié par la distance entre \(A\) et n’importe quel point de la droite, le tout rapporté à la norme (illustration en page produit scalaire dans l'espace).

 

Propriétés

Commutativité, associativité et distributivité :

Soit un réel \(k.\)

  • \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \)
  • \(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)\)
  • \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)

Identités remarquables :

  • \({\left( {\overrightarrow u \pm \overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow v ^2} \pm 2\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
  • \(\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right).\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\)

 

Inégalité de Schwarz (hors du programme de première)

\(\forall \overrightarrow u \in {\mathbb{R}^2},\) \(\forall \overrightarrow v \in {\mathbb{R}^2},\) \(\| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \| \le \sqrt {\overrightarrow u .\overrightarrow u } \sqrt {\overrightarrow v .\overrightarrow v } \)

Elle permet de démontrer l'inégalité triangulaire.

 

Cercle

Le cercle de diamètre \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) vérifiant le produit scalaire \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0.\)

On a aussi le moyen de connaître les points \(P\) de la tangente au cercle au point \(M\) : \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MO} = 0.\)

En géométrie analytique, on peut déterminer l'équation d'un cercle dont on connaît deux points distincts en utilisant un produit scalaire.

Formules de la médiane :

Soit \(O\) le milieu du segment \([AB]\) et \(M\) un point quelconque du plan (donc, \(A,\) \(B\) et \(M\) forment un triangle).

\(M{A^2} + M{B^2}\) \(= 2O{M^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\)

On a également \(M{A^2} - M{B^2}\) \(= 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA}. \)

Mais aussi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}.\)

 

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