Voici une découverte qui date des Éléments d’Euclide, une époque où Hérophile n’avait pas réalisé que l’être humain faisait partie du règne animal et où les programmes télévisés ne l’avaient pas encore ravalé (pour certains) au règne végétal…

Les identités remarquables remémorent de vieux souvenirs à la plupart des adultes. Quand une équation du second degré n’appelle qu’une solution ou deux opposées, elles évitent la factorisation qui passe par le calcul du discriminant et font donc gagner du temps.

Les formules sont évidemment à connaître par cœur :

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a – b)² = a² – 2ab + b² et (a + b)(a – b) = a² – b².

Un bon moyen de les enseigner est de contraindre au calcul mental, en particulier pour déterminer le carré de nombres à deux chiffres. À titre d’exemple, 25² se calcule en décomposant 25 en 20 + 5. Sans stylo, il est plus facile de commencer par le double produit. Donc, 2 × 20 × 5 = 200 auquel on ajoute 20², soit 400, et 5², soit 25. Solution = 625. Les identités remarquables sont un très bon moyen d’initiation à la magie des nombres : on trouve le même résultat en posant (10 + 15)² ou encore (326 – 301)²…

Illustrons géométriquement que (2 + 3)² = 25. Voyez ce beau carré de 5 × 5 = 25 carreaux :

Il apparaît clairement que 25 se décompose en 2², soit 4, plus 3², donc 9, plus un double produit représenté par deux fois 6 carreaux bleus…

Et comme ça marche à tous les coups, on peut introduire des inconnues x…

Autre particularité, cette fois sur la différence entre deux carrés de nombres : elle est égale au produit de leur somme par leur différence. Illustration : 9² – 3² = 81 – 9 = 72, nombre qu’on retrouve en multipliant (9 + 3) par (9 – 3).

Cette superbe propriété est largement utilisée avec ce fameux x qu’on trouve partout :

Si la différence entre deux carrés est l’expression d’une fonction, cette dernière est paire.

La propriété du « a² – b² » est très pratique pour faire disparaître la racine d’un dénominateur. C’est le principe de la quantité conjuguée, appliquée dans l’exemple ci-dessous pour lever l’indétermination d’une limite.

L’expression peut alors s’écrire ainsi et ce qui semble être d’abord une complication gratuite permettra de lever facilement l’indétermination.

Il est dès lors évident que la limite à l’infini de cette chose-là tend vers zéro…

Il existe d’autres identités moins connues qui ne font pas partie des programmes et qu’on peut découvrir au détour d’un exercice :

(a + b)² – (a – b)² = 4ab ou encore (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²).

Et avec des nombres complexes ?

On a l’égalité a² + b² = (a + ib)(a - ib).

On en déduit que x² + 1 = (x + i)(x – i).

Et au-delà de x² ?

On a par exemple (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ ou encore a³ – b³  = (a – b)( a² + 2ab + b²).

Et comme il devient vite fastidieux d’apprendre un tas de formules par cœur, on utilise de préférence la formule du binôme de Newton.

Pour clore cette petite présentation qui commence au collège et se termine au bac S ou dans le supérieur, terminons par un exercice :

Exercice

Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant :

Solution

Commençons par faire disparaître la partie imaginaire du dénominateur grâce à la technique maintenant bien connue des quantités conjuguées.

Le numérateur a besoin qu’on s’occupe de lui. Développons-le (binôme de Newton).

Conclusion : et voilà le travail !

Complément

Vous pouvez jeter un coup d'oeil là-dessus :

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.ht