Identités remarquables et quantités conjuguées
Voici une découverte qui date des Éléments d’Euclide, une époque où Hérophile n’avait pas encore réalisé que l’être humain faisait partie du règne animal et où les programmes télévisés ne l’avaient pas encore ravalé (pour certains) au règne végétal…
À savoir...
Les identités remarquables remémorent de vieux souvenirs à la plupart des adultes. Quand une équation du second degré n’appelle qu’une solution ou deux opposées, elles évitent une factorisation qui passe par le calcul du discriminant et font donc gagner du temps. D'ailleurs, la formule du discrimant se découvre avec la forme canonique qui utilise le principe de l'indentité remarquable...
Les formules sont évidemment à connaître par cœur :
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
Un bon moyen de les enseigner est de contraindre au calcul mental, en particulier pour déterminer le carré de nombres à deux chiffres. À titre d’exemple, \(25^2\) se calcule en décomposant 25 en \(20 + 5.\) De tête, il est plus facile de commencer par le double produit. Donc, \(2 × 20 × 5 = 200\) auquel on ajoute \(20^2,\) soit 400, et \(5^2,\) soit 25. La solution est 625. Les identités remarquables nous invitent à la magie des nombres : on trouve le même résultat en posant \((10 + 15)^2\) ou encore \((326 - 301)^2…\)
Et comme ça marche à tous les coups, on peut introduire des inconnues \(x.\)
Autre particularité, cette fois sur la différence entre deux carrés de nombres : elle est égale au produit de leur somme par leur différence. Illustration : \(9^2 - 3^2\) \(=\) \(81 - 9\) \(=\) \(72,\) nombre que l’on retrouve en multipliant \((9 + 3)\) par \((9 - 3).\)
Cette superbe propriété est largement utilisée avec une inconnue ou une variable. À titre d'exemple, on peut remplacer \(\frac{x^2}{4} - 9\) par \(\left( \frac{x}{2} + 3 \right) \left(\frac{x}{2} - 3 \right).\)
Si la différence entre deux carrés est l’expression d’une fonction, cette dernière est paire.
La factorisation de \(a^2 - b^2\) est très pratique pour faire disparaître un radical d’un dénominateur ou pour lever l'indétermination d'une limite. C’est le principe de la quantité conjuguée, appliquée dans l’exemple ci-dessous.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = ?\)
L’expression peut alors s’écrire ainsi et ce qui semble être d’abord une complication gratuite permettra de lever facilement l’indétermination.
\(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\) \(=\) \(\frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt {x}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\) \(=\) \(\frac{(x+1) + \sqrt{x+1} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x+1} - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\) \(=\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\) \(=\) \(\frac{x + 1 - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}\)
Il est dès lors évident que la limite à l’infini de cette chose-là tend vers zéro…
Il existe d’autres identités moins connues qui ne font pas partie des programmes du secondaire mais qui peuvent se découvrir au détour d’un exercice :
\((a + b)^2 - (a - b)^2\) \(=\) \(4ab\) ou encore \((a + b)^2 + (a - b)^2\) \(=\) \(2(a^2 + b^2).\)
Remarque : les identités remarquables s'appliquent également au produit scalaire (voir des exemples d'utilisation en page de formules de la médiane).
Exercices
Petit entraînement : démontrer que le carré d'un nombre impair est toujours impair.
Réponse : Choisissons un entier pair \(n.\) Donc \(n + 1\) est impair. \((n + 1)^2\) \(=\) \(n^2 + 2n + 1^2.\) Le premier membre est bien sûr divisible par 2 (un nombre pair multiplié par lui-même ne peut pas donner un nombre impair) et le deuxième aussi. Nous obtenons donc la somme de deux nombres pairs plus 1, c'est-à-dire un nombre impair (note : la démonstration figure aussi en page d'exercices sur les nombres, de niveau seconde).
Autre entraînement : quel est le signe de \(P = x^4 - 1\) ?
Ceci revient à chercher le signe de l'expression \((x^2 + 1)(x^2 - 1).\) Or, \(x^2 + 1 > 0\) donc c'est le même signe que \(x^2 - 1\) (soit négatif entre -1 et 1, nul sur ces valeurs et positif partout ailleurs).
Et avec des nombres complexes ? (si vous êtes en maths expertes)
On a l’égalité \(a^2 + b^2\) \(=\) \((a + ib)(a - ib)\)
Nous en déduisons que \(x^2 + 1\) \(=\) \((x + i)(x – i).\)
Un détour en page exercices avec complexes illustrera davantage les bienfaits des identités remarquables et autres quantités conjuguées.
Et au-delà de \(x^2\) ?
On a par exemple \((a \pm b)^3\) \(=\) \(a^3 \pm 3a^2b +3ab^2 \pm b^3\) ou encore \(a^3 - b^3\) \(=\) \((a - b)(a^2 + ab + b^2).\)
Et comme il devient vite fastidieux d’apprendre un tas de formules par cœur, on utilise de préférence la formule du binôme de Newton.
Pour clore cette petite présentation qui commence au collège et se termine au bac ou dans le supérieur, terminons par un exercice :
Exercice
Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe \(z = \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^2.\)
Solution
Commençons par faire disparaître la partie imaginaire du dénominateur grâce à la technique maintenant bien connue des quantités conjuguées.
\(z = \left(\frac{(1+i)^2}{(1+i)(1-i)} \right)^2\)
\(\Leftrightarrow z = \left( \frac{(1+i)^2}{2} \right)^2\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{(1+i)^4}{4}\)
Le numérateur a besoin que l’on s’occupe de lui. Développons-le (binôme de Newton).
\(z\) \(=\) \(\frac{1^4 + 4(1)^3i + 6(1)^2i^2 + 4(1)i^3 + i^4}{4}\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{1 + 4i - 6 - 4i + 1}{4}\)
\(\Leftrightarrow z = - 1\)
\(S = \{-1 \}\)
Conclusion : et voilà le travail !
Complément
Une démonstration qui jongle beaucoup avec les identités remarquables se trouve en page de formule de Héron.
Voir aussi le produit scalaire.
Vous pouvez également jeter un coup d'oeil ici :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.ht
