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(et fondements mathématiques)

Les identités remarquables

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Identités remarquables et quantités conjuguées

Voici une découverte qui date des Éléments d’Euclide, une époque où Hérophile n’avait pas réalisé que l’être humain faisait partie du règne animal et où les programmes télévisés ne l’avaient pas encore ravalé (pour certains) au règne végétal…

Les identités remarquables remémorent de vieux souvenirs à la plupart des adultes. Quand une équation du second degré n’appelle qu’une solution ou deux opposées, elles évitent une factorisation qui passe par le calcul du discriminant et font donc gagner du temps. D'ailleurs, la formule du discrimant se découvre avec la forme canonique qui utilise le principe de l'indentité remarquable...

Les formules sont évidemment à connaître par cœur :

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a – b)² = a² – 2ab + b² et (a + b)(a – b) = a² – b².

Un bon moyen de les enseigner est de contraindre au calcul mental, en particulier pour déterminer le carré de nombres à deux chiffres. À titre d’exemple, 25² se calcule en décomposant 25 en 20 + 5. De tête, il est plus facile de commencer par le double produit. Donc, 2 × 20 × 5 = 200 auquel on ajoute 20², soit 400, et 5², soit 25. Solution = 625. Les identités remarquables nous invitent à la magie des nombres : on trouve le même résultat en posant (10 + 15)² ou encore (326 – 301)²…

Illustrons géométriquement que (2 + 3)² = 25. Voyez ce beau carré de 5 × 5 = 25 carreaux :

5 x 5

Il apparaît clairement que 25 se décompose en 2², soit 4, plus 3², donc 9, plus un double produit représenté par deux fois 6 carreaux bleus…

Et comme ça marche à tous les coups, on peut introduire des inconnues x

Autre particularité, cette fois sur la différence entre deux carrés de nombres : elle est égale au produit de leur somme par leur différence. Illustration : 9² – 3² = 81 – 9 = 72, nombre que l’on retrouve en multipliant (9 + 3) par (9 – 3).

Cette superbe propriété est largement utilisée avec ce fameux x que l’on trouve partout :

exemple d'identité

Si la différence entre deux carrés est l’expression d’une fonction, cette dernière est paire.

La factorisation du « a²  b² » est très pratique pour faire disparaître un radical d’un dénominateur ou pour lever l'indétermination d'une limite. C’est le principe de la quantité conjuguée, appliquée dans l’exemple ci-dessous.

limite

L’expression peut alors s’écrire ainsi et ce qui semble être d’abord une complication gratuite permettra de lever facilement l’indétermination.

quantité conjuguée

quantité conjuguée

Il est dès lors évident que la limite à l’infini de cette chose-là tend vers zéro…

Il existe d’autres identités moins connues qui ne font pas partie des programmes du secondaire mais qui peuvent se découvrir au détour d’un exercice :

(a + b)² – (a – b)² = 4ab ou encore (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²).

Remarque pour élèves de première S : les identités remarquables s'appliquent également au produit scalaire (voir des exemples d'utilisation en page formules de la médiane).

Petit entraînement : démontrer que le carré d'un nombre impair est toujours impair.

Réponse : Choisissons un entier pair n. Donc n + 1 est impair. (n + 1)² = n² + 2n + 1². Le premier membre est bien sûr divisible par 2 (un nombre pair multiplié par lui-même ne peut pas donner un nombre impair) et le deuxième aussi. Nous obtenons donc la somme de deux nombres pairs plus 1, c'est-à-dire un nombre impair.

Autre entraînement : quel est le signe x4 1 ?

Ceci revient à chercher celui de ( + 1)(  1). Or, x² + 1 > 0 donc c'est le même signe de x²  1 (soit négatif entre -1 et 1, nul sur ces valeurs et positif partout ailleurs).

Et avec des nombres complexes ?

On a l’égalité a² + b² = (a + ib)(a - ib)

Nous en déduisons que  + 1 = (x + i)(x – i).

Un détour en page exercices avec complexes illustrera davantage les bienfaits des identités remarquables et autres quantités conjuguées.

Et au-delà de x² ?

On a par exemple (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ ou encore a³ – b³  = (a – b)(a² + ab + b²).

Et comme il devient vite fastidieux d’apprendre un tas de formules par cœur, on utilise de préférence la formule du binôme de Newton.

Pour clore cette petite présentation qui commence au collège et se termine au bac S ou dans le supérieur, terminons par un exercice :

Exercice

Écrire sous la forme algébrique le nombre complexe suivant :

énoncé

Solution

Commençons par faire disparaître la partie imaginaire du dénominateur grâce à la technique maintenant bien connue des quantités conjuguées.

quantité conjuguée complexe

Le numérateur a besoin que l’on s’occupe de lui. Développons-le (binôme de Newton).

complexe identité remarquable

Conclusion : et voilà le travail !

Complément

Vous pouvez jeter un coup d'oeil là-dessus :

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.ht

 

identiques

 

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