Les racines complexes d'un trinôme

Discriminant négatif, racines complexes

En classe de première, on apprend à résoudre des équations du second degré. On apprend aussi que si le discriminant est négatif, le polynôme n'admet pas de racine. En fait si, mais les racines ne sont pas réelles. Si l'on travaille dans l'ensemble des complexes, il n'est pas plus difficile de les déterminer que dans \(\mathbb{R}.\) C'est l'une des grandes découvertes de terminale.

 

Position du problème

Un nombre complexe \(z\) est composé d’une partie réelle \(a\) et d’une partie imaginaire \(b.\) Il s’écrit \(z = a + ib,\) sachant que \(i\) est le nombre imaginaire dont le carré est -1.

Un discriminant négatif \(\Delta\) signifie que l’équation \(az^2 + bz +c = 0\) admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des complexes :

\({z_1} = \frac{{ - b + i\sqrt {| \Delta |} }}{{2a}}\) et \({z_2} = \frac{{ - b - i\sqrt {| \Delta |} }}{{2a}}\)

 

Démonstration

La démonstration s'appuie sur la forme canonique.

Pour tout complexe \(z\), nous avons l'égalité suivante :

\(a{z^2} + bz + c\) \(= a\left[ {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Pour \(\Delta \ge 0,\) vous pouvez vous reporter à la page sur les équations du second degré dans \(\mathbb{R}.\)

Sinon on peut réécrire \(\Delta\) sous la forme \(\Delta = {\left( {i\sqrt { - \Delta } } \right)^2}\)

Notre trinôme devient : \(a\left[ {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{{{{\left( {i\sqrt { - \Delta } } \right)}^2}}}{{4{a^2}}}} \right]\)

Il reste à factoriser cette identité remarquable.

\(a\left( {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}} + i\frac{{\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}} \right)\left( {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}} - i\frac{{\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}} \right)\)

Pour obtenir les racines du trinôme, il faut que celui-ci s'annule. Donc :

\(\left( {z + \frac{{b + i\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}} \right)\left( {z + \frac{{b - i\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}} \right) = 0\)

Ainsi nous obtenons bien :

\(z = - \frac{{b - i\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}\) ou \(z = - \frac{{b + i\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}\)

 

Forme factorisée

La forme factorisée de \(az^2 + bz + c\) est \(a(z - z_1)(z - z_2).\)

 

Exemple

Voyons sans plus attendre un exemple, tiré de l’épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie (pour des équations avec la forme algébrique, voir la page équations de degré 2 dans \(\mathbb{C}\)).

Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, résoudre l’équation d’inconnue \(z\) : \(2z^2 + 10z + 25\) \(= 0.\) Écrire les solutions de cette équation sous la forme \(re^{i\theta},\) où \(r\) est un nombre réel positif et \(\theta\) un nombre réel.

La première partie de la question réclame une simple application des formules ci-dessus. Le discriminant est égal à \(10^2 - (4 \times 2 \times 25) = -100\)

\({z_1} = \frac{{ - 10 + 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i\)

\({z_2} = \frac{{ - 10 - 10i}}{{2 \times 2}}\) \(= - \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i\)

La deuxième partie de la question aurait davantage sa place en page forme polaire des complexes mais traitons-la pour le plaisir. Calculons le module de \(z_1\) selon une procédure bien rôdée :

\(\left| { - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i} \right|\) \(= \frac{5}{2}\left| {i - 1} \right|\) \(= \frac{5}{2}\sqrt {\left| { - 1 - {1^2}} \right|}\) \(= \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Quel peut bien être l’argument ?

Utilisons la forme trigonométrique. Cette fois, la procédure consiste à partir de \(\frac{{{z_1}}}{{\left| {{z_1}} \right|}}\), à en déduire la forme trigonométrique puis à transformer cette dernière en forme exponentielle selon le schéma suivant :

\[\frac{z}{{\left| z \right|}} = \cos \theta + i\sin \theta = {e^{i\theta }}\]

Allez, c’est parti…

\[\frac{{{z_1}}}{{\left| {{z_1}} \right|}} = \frac{{\frac{5}{2}\left( { - 1 + i} \right)}}{{\frac{5}{2}\sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{z_1}}}{{\left| {{z_1}} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 ( - 1 + i)}}{{\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{z_1}}}{{\left| {{z_1}} \right|}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\]

On passe à la forme trigonométrique :

\(\cos {\theta _1} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) et \(\sin {\theta _1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Si l’on connaît le cercle trigonométrique, on conclut que \(\theta = \frac{{3\pi }}{4}(2\pi ).\) Par conséquent :

\({z_1} = \left| {{z_1}} \right|{e^{i\theta }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\exp \left( {i\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

\({z_2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\exp \left( { - i\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

Voir aussi l'exemple 2 de la page exercices avec complexes ou encore la page triangle dans le plan complexe.