Les identités (niveau seconde)

Identités remarquables

Cette page a été rédigée pour les élèves de seconde mais bien entendu, vous pouvez vous y référer si vous êtes en première. Cependant, si vous êtes en terminale ou étudiant, la page sur les identités remarquables et quantités conjuguées sera plus adaptée à vos souhaits.

Ces identités doivent être parfaitement maîtrisées. Elles surgiront sans crier gare aux détours des chapitres les plus variés…

 

Formules

Ha les trois formules magiques !

La première à connaître par cœur est, pour touts réels \(a\) et \(b,\) \((a + b)^2\) \(= a^2 + 2ab + b^2.\) La démonstration est on ne peut plus simple. On part de la forme factorisée et on la développe (double distributivité).

\((a + b)^2 = (a + b)(a + b)\)
\(=a \times a + b \times a + a \times b + b \times b\)
\(= a + 2ab + b^2\)

S’il y a un signe négatif : \((a - b)^2\) \(= a^2 - 2ab + b^2\)

Attention, dans ce cas on considère que \(b\) est positif. Il ne faut pas développer en écrivant \(a^2 - 2a(-b) + b^2.\) C’est une erreur que l’on commet parfois…

Enfin, \((a + b)(a -b) = a^2 - b^2\). C'est cette forme que vous utilisez pour la technique des quantités conjuguées (voir la page d'exercices avec racines carrées).

La démonstration est là aussi très simple (même principe que ci-dessus).

 

Géométrie

Illustrons géométriquement que \((2 + 3)^2 = 25.\) Voyez ce beau carré de \(5 \times 5 = 25\) carreaux :

5 x 5

Il apparaît clairement que 25 se décompose en \(2^2,\) soit 4, plus \(3^2,\) donc 9, plus un double produit représenté par deux fois 6 carreaux bleus…

La démonstration géométrique est au programme de seconde. Vous pouvez facilement la reproduire en remplaçant, ci-dessus, 2 et 3 par \(a\) et \(b.\)

Pour cela, il faut tracer un carré de \((a + b)\) de côté et le séparer ainsi :

identité géométrique

Il apparaît ainsi deux carrés de côtés \(a\) et \(b\) et deux rectangles d’aire \(a \times b.\)

Ainsi, l’aire du carré de côté \((a + b),\) c’est-à-dire \((a + b)^2,\) est égale à la somme de deux aires de carrés (\(a^2\) et \(b^2\)) et aux aires de deux rectangles \(a \times b.\) On arrive bien à la somme \(a^2 + 2ab + b^2.\)

 

Démonstration

Il ne s'agit pas de redémontrer les identités (voir ci-dessus) mais d'en utiliser une dans le cadre d'une démonstration sur les racines carrées (exigible au programme de seconde) : prouvons que, \(a\) et \(b\) étant des réels positifs, on vérifie toujours l'inégalité \(\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}.\)

Nous comparons deux nombres positifs. Donc, si on les élève au carré, le même ordre sera respecté.

Ce que nous faisons sans plus attendre : \({\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} = a + b\) et \(( {\sqrt a + \sqrt b })^2\) \(= ( {\sqrt a })^2 + 2\sqrt a \times \sqrt b + ( {\sqrt b } )^2\)\(= a + 2\sqrt{ab} + b.\)

Comme \(2\sqrt{ab} > 0\), nous avons prouvé que \({\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2}\) \(< ( {\sqrt a + \sqrt b } )^2\) et comme les deux membres de l'inégalité sont des carrés de nombres positifs, nous avons bien démontré l'inégalité de départ.

 

Approfondissements

Si vous êtes en seconde, il est possible que votre professeur cherche à vous divertir dans de joyeux prolongements. Par exemple, \((a + b + c)^2.\)

Considérons d’abord \((a + b)\) comme un seul nombre.

\([(a + b) + c]^2\) \(= (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2\)

Développons

\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2\)

C’est déjà fini. On peut réordonner cette somme : \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.\)

Une autre identité que vous pouvez connaître ou, éventuellement, retrouver assez facilement est la suivante :

\((a + b)^3\) \(= a^3 – 3a^2b +3ab^2 - b^3\)

Démontrons-la en partant, comme d’habitude, de la forme factorisée.

\((a + b)^3 = (a + b)^2(a + b)\)
\(= (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)\)
\(= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

On prouve de la même façon que \((a - b)^3\) \(= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\)

 

Exercices

Factoriser

\(A = (x + 1)(2x - 3) + x^2 +2x +1\)
\(B = 4x^2 - 9 - (2x + 3)(x - 1)\)

Corrigé

A- On remarque que les trois derniers termes sont le développement de \((x + 1)^2.\)

\(A = (x + 1)(2x - 3) + (x + 1)^2\)

Factorisons.

\(A = (x + 1) [(2x - 3)+(x + 1)]\)
\(A = (x + 1)(3x - 2)\)

\(B = (2x - 3)(2x + 3) - (2x + 3)(x - 1)\)
\(B = (2x + 3)[(2x - 3) - (x - 1)]\)
\(B = (2x + 3)(2x - 3 - x + 1)\)
\(B = (2x + 3)(x - 2)\)

Vous trouverez d’autres exercices en page de factorisations.

 

Identique et remarquable