Exercices sur le second degré
Vous êtes en première générale, en début d’année. Vous venez de découvrir un outil étonnant, le discriminant, qui vous permet de résoudre des équations du second degré avec forme développée, c’est-à-dire de type \(ax^2 + bx + c\) \(=\) \(0.\) C’est ce que nous allons faire ici. Les exercices vous montreront aussi que parfois, le calcul du discriminant est inutile (il existera d’autres cas, que vous découvrirez plus tard en abordant les racines évidentes).
Précisons que si la forme du trinôme est factorisée, vous pouviez déjà résoudre ce type d’équation en classe de seconde grâce au théorème du produit nul.
Exercices
1- \(x^2 - 2x - 8 = 0\)
2- \(2x^2 - 6x = -3\)
3- \(3x^2 - x = 0\)
4- \((x - 2)^2 + 10 = 0\)
5- \(2x^3 - 3x^2 + 3x = 0\)
6- \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{3}{4} = 0\)
Voir aussi la situation 1 de la page qui traite des équations bicarrées.
Corrigés
1- \(x^2 - 2x - 8 = 0\)
Calculons le discriminant \(Δ = b^2 - 4ac.\)
\(Δ = (-2)^2 - 4 × 1 × (-8) = 36.\)
\(Δ > 0\) donc l’équation admet deux solutions.
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4\)
\(S = \{-2\, ; 4\}\)
2- \(2x^2 - 6x = -3\)
Ramenons-nous d’abord à la configuration classique.
\(2x^2 - 6x + 3 = 0\)
Le discriminant \(Δ\) est égal = \(36 - 24 = 12.\)
Il est positif, donc l’équation admet deux solutions. Remarquez toutefois que 12 n’est pas un carré parfait. Les solutions comporteront donc des radicaux. Ce qui donne l’occasion de raviver certaines connaissances sur les racines carrées !
\(x_1 = \frac{6 - \sqrt{12}}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\)
\(x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\)
\(S = \{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\, ; \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\}\)
3- \(3x^2 - x = 0\)
Remarquez que \(c = 0.\) Vous pouvez donc factoriser le polynôme par \(x,\) ce que vous saviez déjà faire en seconde.
\(x(3x - 1) = 0\)
\(x = 0\) ou \(3x = 1\)
\(x = 0\) ou \(x = \frac{1}{3}\)
\(S = \{0\, ; \frac{1}{3}\}\)
Bien sûr, vous pouvez calculer le discriminant. \(Δ = 1.\) Ainsi \(x_1 = \frac{1 - \sqrt{1}}{6} = 0\) et \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{1}}{6} = \frac{1}{3}.\) Mais ce n’est pas astucieux et l’application de cette technique risque de heurter la sensibilité artistique de votre prof.
4- \((x - 2)^2 + 10 = 0\)
Cette équation est présentée avec la forme canonique. Tant mieux, elle sera plus vite résolue.
Vous devez remarquer qu’elle peut s’écrire \((x - 2)^2 = -10.\) Or un carré ne peut pas être négatif ! Inutile de poursuivre, il n’y a pas de solution.
\(\S = \emptyset \)
Si le premier membre de l’égalité avait été une soustraction, l’équation aurait admis des solutions. Pour les trouver, vous auriez eu le choix entre le développement puis le discriminant ou la factorisation directe (identité remarquable).
5- \(2x^3 - 3x^2 + 3x = 0\)
Grâce à votre sens de l’observation surdéveloppé, vous avez noté que cette équation n’est pas du second degré mais du troisième. Cependant, l'absence de constante vous permet de factoriser l’expression par \(x.\) Il s’en suivra la résolution d’une équation du second degré.
\(x(2x^2 - 3x + 3) = 0\)
Donc \(x = 0\) ou \(2x^2 - 3x + 3 = 0\)
Résolvons ce second cas.
\(Δ = (-2)^2 - 4 × 2 × 3 = -20.\) Le discriminant est négatif. Le trinôme ne peut donc pas être égal à 0. Il n’existe donc qu’une solution, celle que nous avons trouvé auparavant. \(S = \{0\}.\)
6- \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{3}{4} = 0\)
Avec cette équation nous revenons à la situation désormais classique. Toutefois, nous savons par expérience que de nombreux élèves de première n’ont pas toujours été très concentrés au collège et qu’ils maîtrisent mal les règles élémentaires d’opérations sur les fractions. Cette équation est donc un prétexte pour revoir certains fondamentaux.
\(Δ = (-\frac{1}{3})^2 - 4 × \frac{1}{4} × (-\frac{3}{4})\)
\(\Leftrightarrow Δ = \frac{1}{9} - 1 × (-\frac{3}{4})\)
\(\Leftrightarrow Δ = \frac{1}{9} + \frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow Δ = \frac{4}{36} + \frac{27}{36}\)
\(\Leftrightarrow Δ = \frac{31}{36}\)
Avec des nombres pareils, il ne fallait pas s’attendre à un carré parfait !
Donc \(\Delta > 0\) et l’équation admet deux solutions.
\[x_1 = \frac{\frac{1}{3} - \sqrt{\frac{31}{36}}}{\frac{1}{2}}\]
\(⇔ x_1 = \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{31}}{6} = \frac{2 - \sqrt{31}}{3}\)
\(x_1 = \frac{2 - \sqrt{31}}{3}\)
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{31}}{3}\)
\(S = \{ \frac{2 - \sqrt{31}}{3}\, ; \frac{2 + \sqrt{31}}{3}\}\)
