Équations paramétrées du 2nd degré
Vous avez appris à calculer les racines d’un polynôme du second degré grâce au discriminant. Il est temps de faire quelques exercices. Vous en trouverez d’ailleurs en pages d'équations du second degré, d’exercices sur le second degré et de problèmes sur le second degré.
Ci-dessous, vous pouvez vous exercer à résoudre un certain type de devinette (appelons-ça comme ça). Les polynômes y présentent un paramètre. Ce n’est pas une maladie très grave et vous en viendrez vite à bout.
Énoncé 1
Soit le polynôme suivant, où \(m\) est un réel.
\(P(x) = 2x^2 + (2m+2)x +m^2 - 1\)
1- Pour quelle(s) valeur(s) de \(m\) pour que \(P(x)\) admet-il une racine double ?
2- Déterminer cette ou ces racine(s)
Énoncé 2
Soit la fonction suivante :
\(f(x) = \frac{mx^2 + 12x + 9m}{x^2 + 7x + 12.}\)
1- Déterminer l’ensemble de définition de \(f.\)
2- Calculer pour quelle(s) valeurs de \(m\) la fonction \(f\) n’admet qu’une seule racine.
3- Déterminer la ou les valeurs de \(x\) pour que cette racine unique soit nulle.
Corrigé 1
1- Si un trinôme admet une racine double, son discriminant est nul.
Rappelons que la formule du discriminant d’un trinôme exprimé comme \(ax^2 + bx + c\) est \(\Delta = b^2 - 4ac.\)
Ici, \(a = 2,\) \(b = 2m+2\) et \(c = m^2-1\)
Donc \(\Delta = (2m+2)^2 - 4 \times 2 \times (m^2 - 1) = 0\)
Développons l’identité et distribuons.
\(4m^2 + 8m + 4 - 8m^2 + 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow -4m^2 + 8m +12 = 0\)
C’est une nouvelle équation du second degré. Calculons son discriminant \(\Delta'.\)
\(\Delta' = 8^2 - 4 \times (-4) \times 12 = 256,\) soit \(16^2.\)
Comme \(\Delta' > 0,\) il existe deux solutions \(m_1\) et \(m_2.\)
\(m_1 = \frac{-8 - 16}{-8} = 3\) et \(m_2 = \frac{-8+16}{-8} = -1.\)
Donc, si \(m=3\) ou si \(m= -1,\) \(P(x)\) admet une racine double.
2- Si \(m=-1,\) alors \(P(x) = 2x^2.\) Il est alors évident que 0 est la seule racine de \(P(x).\)
Si \(m = 3,\) \(P(x) = 2x^2 + 8x + 8\)
Inutile de calculer le discriminant puisqu’on sait qu’il est nul. La racine double est \(\frac{-b}{2a},\) c’est-à-dire \(\frac{-8}{4},\) soit -2.
Donc \(P(x)\) admet une racine double dans deux cas : si \(m = -1\) et la racine est 0 et si \(m = 3,\) la racine étant alors -2.
Corrigé 2
1- \(f\) est définie si son dénominateur est non nul.
Posons \(x^2 + 7x + 12 = 0.\) On connaît la procédure…
\(\Delta = 49 - 48 = 1.\) L’équation admet deux racines (\(\Delta > 0\)).
\(x_1 = -7 - \frac{1}{2} = -4\) et \(x_2 = -7 + \frac{1}{2} = -3.\)
Les deux racines sont -4 et 3. Par conséquent, \(f\) n’est pas définie si \(x = -4\) ou si \(x = -3.\)
2- \(f\) admet une racine et une seule si le discriminant de \(mx^2 + 12x + 9m\) est nul.
Là encore, calculons le discriminant avec \(a = m,\) \(b = 12\) et \(c = 9m.\)
\(\Delta = 144 - 36m^2\)
On pose \(144 - 36m^2 = 0\) et l’on remarque qu’une factorisation est possible (identité remarquable).
Soit \((12 – 6m)(12 + 6m) = 0\)
D’où \(m = 2\) ou \(m = -2.\)
\(f\) n’admet qu’une seule racine à la condition que \(m\) soit égal à -2 ou à 2.
3- Premier cas : \(m=-2\)
\(f(x) = \frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 7x + 12}\)
L’équation \(f(x) = 0\) revient à trouver la racine double du numérateur.
Soit \(x_0 = \frac{-b}{2a}\) avec \(a = -2\) et \(b = 12.\)
\(x_0 = 3\)
Second cas : \(m = 2\)
\(f(x) = \frac{2x^2 + 12x + 18}{x^2 + 7x + 12}\)
L’équation \(f(x) = 0\) revient à trouver la racine double du numérateur.
Soit \(x_0'= \frac{-b}{2a}\) avec \(a = 2\) et \(b = 12.\)
\(x_0' =-3\)
Or cette solution ne peut être retenue puisque la fonction \(f\) n’est pas définie en -3.
Par conséquent, \(f\) n’admet 0 comme solution unique qu’à la condition que \(m\) soit égal à -2 et que \(x\) soit égal à 3.
