Les inéquations du second degré

Second degré et étude de signe

 

Cette page est adaptée au programme de maths de première générale. Elle vous permettra de déterminer de façon algébrique le signe d’un polynôme du second degré.

 

Une triple présentation

Un trinôme, ou polynôme du second degré, se présente sous trois formes.

La forme développée, de type \(ax^2 + bx + c\)

La forme canonique, dont la structure est \(a(x – \alpha)^2 + \beta\)

La forme factorisée. Tous les trinômes ne sont pas factorisables. Lorsqu’ils le sont, ce peut être soit sous la forme \(a(x - x_0)^2\) soit sous la forme \(a(x - x_1)(x - x_2).\) Les valeurs \(x_1\) et \(x_2\) sont appelées les racines du polynômes, \(x_0\) étant une racine double.

 

La forme factorisée

Supposons que le trinôme se présente sous forme factorisée. Ce peut être une fonction polynomiale du second degré, peu importe le contexte. Grâce à la règle des signes, vous pouvez dresser un tableau de signes et trouver le signe du polynôme, donc résoudre une équation de type \(ax^2 + bx + c > 0.\) C’est ce que vous avez fait en classe de seconde (voir la page sur les inéquations).

 

Les autres formes

Si le polynôme est présenté sous sa forme développée, vous devez alors calculer le discriminant. Il se calcule ainsi : \(\Delta = b^2 - 4ac.\) Trois cas :

  • Si le discriminant est négatif, le polynôme n’est pas factorisable dans \(\mathbb{R}.\) Son signe est toujours celui de \(a.\)

  • S'il est nul, il admet une racine double \(x_0 = -\frac{b}{2a}.\) Pour cette valeur, le polynôme est nul. Partout ailleurs, il est du signe de \(a.\)

  • S'il est positif, le polynôme admet deux racines \(x_1\) et \(x_2\) qui se calculent ainsi : \({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) et \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\). Dans ce cas, le signe du trinôme est le signe de \(a,\) sauf pour les racines (il est nul) et entre celles-ci il est du signe contraire de \(a.\)

Certes, dans ce dernier cas, le polynôme peut être présenté sous la forme \(a(x - x_1)(x - x_2)\) mais avec les règles que nous venons de donner, il est inutile de détailler les signes des facteurs comme vous le faisiez en seconde. Le tableau de signes ne comprend qu’une seule ligne.

tableau de signes

Notez qu’il n’est pas toujours indispensable de calculer le discriminant puisque certains polynômes présentent une racine évidente.

Enfin, lorsque le trinôme est présenté sous forme canonique, vous pouvez soit le factoriser en vous servant de la propriété d’une identité remarquable, soit le développer pour vous retrouver dans la configuration que nous venons d’explorer.

 

Résumé

Selon l’énoncé de l’exercice, vous pouvez emprunter l’un des chemins suivants pour arriver à déterminer le signe d’un polynôme \(P(x)\) et donc donner les solutions, sous forme d’intervalles, pour \(P(x)\) plus petit ou plus grand que 0.

schéma

 

Exemple

Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 + 2x - 8.\)

On calcule le discriminant \(\Delta = 2^2 - 4(1 \times (-8)) = 36.\) Comme 36 est positif, il existe deux solutions. La racine carrée de 36 étant 6, donc un entier, les solutions ne seront pas trop alambiquées (plus exactement, ce sont de sentiers).

En appliquant les formules, on trouve \({x_1} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = - 4\) et \({x_1} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = - 2.\)

Ces informations nous permettent de connaître le signe de \(f\) ainsi que sa forme factorisée : \(f(x) = (x - 2)(x + 4).\)

Ainsi, \(f\) est nul si \(x\) est égal à -4 ou à 2. Entre ces deux valeurs, il est négatif puisque \(a = 1\) qui est un nombre positif. Par exemple, si \(x = 0,\) alors \(f(x) = -8.\) En revanche, \(f\) est positif lorsque \(x\) est inférieur à -4 ou supérieur à 2.

Visualisation de la courbe représentative de \(f\) avec GeoGebra.

parabole

Si l’énoncé est une inéquation et non une étude de signe, il vous reste une petite étape supplémentaire qui est d'indiquer l'intervalle des solutions.