Les racines évidentes d'un polynôme

Racines évidentes et applications

Lorsque, en classe de première générale, vous étudiez le second degré, vous vous trouvez parfois dans des situations où le calcul du discriminant est soit inutile, soit interdit par un énoncé, soit impossible à calculer compte tenu du bagage mathématique dont vous disposez. Ne restez pas bloqué devant la difficulté. Ces exercices très particuliers comportent forcément une issue de secours. En l’occurrence, des racines évidentes.

 

Les racines évidentes

Vous êtes en présence d’une équation du second degré de type \(ax^2 + bx + c = 0\) ou simplement d’un polynôme dont vous devez extraire d’éventuelles racines. Trouver une racine évidente, c’est remarquer son existence sans faire le moindre calcul : exception en mathématiques, cette notion n'est pas strictement définie !

Soit par exemple l’équation \(x^2 + 2x - 3 = 0.\) On remarque immédiatement que 1 est une solution. Si l’on remplace \(x\) par 1, on obtient \(1^2 + 2 \times 1 - 3,\) ce qui fait bien 0.

En général, on considère que -1, 1, 2 et -2 peuvent être dconsidérées comme des racines évidentes. Selon les manuels, ce seraient les limites du calcul mental que l’on peut légitimement demander à un élève du secondaire.

D’un premier coup d’œil, il est d’ailleurs facile de remarquer si 1 ou -1 sont de possibles racines (un coefficient est la somme des deux autres au signe près). De toute façon, le calcul n’est pas très long !

Ces racines apparaissent dans deux types d’exercices, que nous illustrerons ci-dessous : lorsqu’il vous est expressément demandé de ne pas calculer le discriminant et lorsqu’il faut résoudre une équation du troisième degré.

 

Exercices corrigés

Énoncé 1 : factoriser le polynôme \(P(x)= x^2 - 6x - 7\) sans calculer le discriminant. Il est précisé que ce polynôme admet deux racines.

Corrigé : il faut remarquer que -1 est racine évidente. Donc \(x_1 = -1.\)

En effet, \((-1)^2 + 6 - 7 = 0.\) Mais quelle est l’autre racine ?

Vous devez alors vous souvenir d’une propriété : le produit des racines est égal à \(\frac{c}{a}.\)

Ici, \(\frac{c}{a} = \frac{-7}{1},\) soit -7. Donc \((-1) \times x_2 = -7.\) Par conséquent, \(x_2 = 7.\)

Rappelons que la forme factorisée d’un trinôme est de la forme \(a(x - x_1)(x - x_2).\)

D’où \(P(x) = (x+1) (x-7)\)

Énoncé 2 : factoriser le polynôme \(Q(x) = 2x^2 + 9x + 10\) sans calculer le discriminant. Il est précisé que ce polynôme admet deux racines.

Corrigé : il faut remarquer que -2 est racine évidente.

En effet, \(2(-2)^2 - 9 \times 2 + 10\) \(= 8 - 18 + 10 = 0\)

\(\frac{c}{a} = \frac{10}{2} = 5.\)

Posons \(x_2 \times (-2) = 5.\) Nous en concluons bien vite que \(x_2 = \frac{-5}{2}.\)

Par conséquent, \(Q(x) = 2(x  + \frac{5}{2})(x + 2).\)

Il est cependant plus « esthétique » de réunir les deux premiers facteurs en un seul.

Ainsi \(Q(x) = (2x + 5)(x + 2).\)

 

Équations du troisième degré

La résolution algébrique des équations du troisième degré est beaucoup trop compliquée pour être enseignée dans le secondaire. Mais lorsqu’il existe une racine évidente, l’opération devient possible !

Une équation du troisième degré se présente ainsi :

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

Si l’on extrait une racine \(x_1,\) on obtient alors un facteur de type \((x - x_1)\) que multiplie un trinôme de type \(a’x^2 + b’x + c’.\) Vous devez alors trouver les valeurs \(a’,\) \(b’\) et \(c’\) comme nous alors le voir. Ensuite, vous serez en présence d’un trinôme dont vous savez parfaitement déterminer les racines (si racines il y a).

Énoncé : soit \(f\) la fonction polynomiale définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)\) \(= 3x^3 - 4x^2 - x + 2.\) Déterminer une forme factorisée de \(f.\)

Nous constatons que 1 est racine évidente (pour ce type d’exercice, il y a peu de risque que l’on vous fasse travailler avec -2 ou 2).

Par conséquent, \(f(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)\)

La procédure à suivre consiste à développer cette expression puis à procéder par identification.

\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c\)
\(\Leftrightarrow f(x) = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c\)

Identifions :

\(a = 3\)
\(b - a = -4\)
\(c - b = -1\)
\(-c = 2\)

Il s’agit d’un système de quatre équations à trois inconnues, ce qui signifie qu’une équation est redondante avec les autres.

Il est immédiat que \(a = 3\) et \(c = -2.\) Donc \(b = -4 + a = -1.\) On peut vérifier que \(c - b\) est bien égal à -1.

Nous en arrivons à l’expression suivante :

\(f(x) = (x - 1)(3x^2 - x - 2)\)

Occupons-nous du second facteur. Le discriminant \(\Delta\) est égal à \((-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2)\) \(= 25,\) soit \(5^2.\) Comme \(\Delta > 0,\) le trinôme admet deux racines.

L’une est \(\frac{1-5}{6} = \frac{-2}{3}\) et l’autre est à \(\frac{1+5}{6} = 1.\)

D’où \(f(x) = 3(x + \frac{2}{3})(x - 1)(x - 1)\)

On écrira plutôt \(f(x) = (3x + 2)(x - 1)^2\)

 

Complément TI-83

Pour extraire directement les racines avec une calculatrice TI-83, vous pouvez utiliser un programme déjà chargé. Bien sûr, il ne vous détaillera pas les calculs que vous devez présenter mais il peut vous servir à vérifier un résultat.

Soit vous appuyez sur la touche résol puis vous optez pour le choix 2 (PlySmlt2), soit vous appuyez sur la touche apps (c’est-à-dire 2nde puis résol) puis PlySmlt2 dans le menu qui se présente (il peut s’agir du choix 8 ou 9 selon les versions). Ensuite, choix 1 (racines d’un polynôme).

La fenêtre suivante vous propose un paramétrage. Pour une équation du second degré de niveau première, laissez tout en l’état. Pour passer à la suite, appuyez sur la touche graph.

La dernière fenêtre vous présente la structure du polynôme. Vous entrez alors les signes et les coefficients (touche entrer pour chaque validation). Une fois votre polynôme saisi, touche graph pour avoir les résultats.

Si vous possédez ce modèle de calculatrice, vous pouvez vous entraîner sur les exemples ci-dessus, y compris sur l’équation du troisième degré.